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1、第十三章 幂级数,形如：,的函数项级数,称为幂级数。,时为,主要讨论后者,1.收敛域？ 2.一致收敛域？ 3.和函数的性质？ 4.函数展成幂函数 ？,特别,13.1 幂级数的收敛半径与收敛域,问题：,（阿贝尔第一定理）,在点 收敛，,则对满足不等式,的一切点x，,幂级数 都绝对收敛；,定理13.1,i) 若幂级数,在点 发散，,则对满足不等式,的一切点x，,幂级数 都发散。,ii) 若幂级数,定理中的r称为幂级数的收敛半径。收敛区间为,对任意给定的幂级数，必存在唯一的r（r满 足,定理13.2,考察幂级数,1）收敛半径都是1；,3） (1)在x=,(2),(3),总之：对每一个幂级数，都存在一
2、收敛半径r，使得级数在,内绝对收敛。但在两个端点的收敛性要做专门的讨论。,2）都在（-1，1）绝对收敛；,例1,的收敛半径,均发散,，故(1)的收敛域为(-1,1).,若幂级数：,则幂级数的收敛半径 r =,求 幂级数的收敛半径与收敛域。,解 : 由,例2,定理13.2,求,的收敛半径与收敛域,不能用定理13.3计算收敛半径,因此当,即,故级数发散。于是，级数收敛半径为,收敛域为,解： 这个幂级数的偶次幂的系数,但可以用达朗贝尔判别法直接求收敛区域：,例3,，则对任意b：,幂级数在,(2)若幂级数的收敛半径为,，且幂级数在,(3)若幂级数的收敛半径为,一致收敛。,幂级数在什么地方一致收敛。,定
3、理13.4（阿贝尔第二定理）,(1)若幂级数的收敛半径为,一致收敛；,幂级数在,一致收敛；,且幂级数在,收敛，则,则幂级数在,收敛，,13.2 幂级数的性质,而,收敛，根据一致收敛的M判别法，知幂级数,在,一致收敛。,其中,对任意,根据一致收敛的阿贝尔判别法知,在,一致收敛。,证明 （1）由于,（2）已知,收敛，而,关于 n 单调下降，且,推论1 若幂级数,的收敛半径为,，则它的和,证明：,由定理13.4知，幂级数在,一致收敛，而,在,连续，因此和函数在,连续，由,的任意性，知和,连续,函数在,连续。,连续，,特别地在,函数在,推论2 若幂级数的收敛半径为,且幂级数在 r 收敛，则,连续。特别
4、地,它的和函数在,若幂级数,的收敛半径为 r，和函数为S(x)，即,则幂级数在收敛区域区间内部可以逐项微商与逐项积分，即,且（2)，(3) 中的幂级数收敛半径仍然是 r,( 3 ),( 1 ),( 2 ),定理13.5,（任意次可微）,的收敛半径为,则其和函数,在,内任意次可微，且,等于,逐项微商次所得的幂级数。,若幂级数,定理13.6,幂级数 在收敛区间内部可以逐项微商与逐项积分的,对每个幂级数 ，都存在收敛半径,总结,幂级数 在(-r,+r)内绝对收敛，在 发散,但在 要具体分析；,(i),(ii),(iii),且收敛半径不变；,幂级数 在收敛区间内部所表示的函数是任意次可微的。,前面的讨
5、论，都是从幂级数出发，看它所表示的函数（和函数）具有什么性质。本节从函数出发看它能否用幂级数表示。从而用幂级数这个工具研究函数。,1.满足什么条件,就可以展开成幂级数？,2.若可以展开的话，展开式是什么形式？,13.3 函数的幂级数展开,定义,问题：,即,则称,在,可以展开成幂级数；,如果,(唯一性),在,那么必有,（ii）如果函数,在,可以展开成,（i）如果函数,可以展开,成幂级数,幂级数展开的唯一性,定理13.7,幂级数,为,的麦克劳林级数，称,为,在,的泰勒级数。,Taloy级数与麦克劳林级数,通常称,若,一致有界，即存在,，使,则,在,可以展开成幂级数,定理13.8,的各阶微商在,证明
6、：用拉格朗日余项,初等函数的幂级数展开,（i） e x 的展开式：,（ii）sin x 和 con x 的展开式：,（iii）幂函数 的展开式：,（iv）对数函数 ln ( 1 + x ) 的展开式：,已知,根据逐项微分定理，得：,例3,两边乘以,得,再逐项微商，有,这样，通过逐项微分，我们可以得到许多新的级数展开,得,还可以计算很多特殊数项级数的和。,在上面两个级数中，令,二、求幂级数收敛域的方法, 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,再讨论, 非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,内容小结, 求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和, 映射变
7、换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值,求部分和等, 初等变换法: 分解、套用公式,（在收敛区间内）, 数项级数 求和,四、函数的幂级数和付式级数展开法, 直接展开法, 间接展开法,练习:,1. 将函数,展开成 x 的幂级数., 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,解:,1. 函数的幂级数展开法,习题,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,例2. 设正项级数,和,也收敛 .,提示: 因,存在 N 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛, 证明级数,当n N 时,例3. 设级数,收敛 , 且,是否也收
8、敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛 .,问级数,提示: 对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛 ,收敛,级数,发散 .,例如, 取,例4. 求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,例5.,解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在, 原级数 =, 其收敛半径,注意:,补充题,例1.设, 将 f (x)展开成,x 的幂级数 ,的和. ( 01考研 ),解:,于是,并求级数,解: 原式=,的和 .,例2、 求级数,解: (1),显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,例3、 求下列幂级数的和函数：,级数发散,(4),作业,P93:2.3 P103:3.4.5.6 P110:1.2.3.,
