12.4__离散型随机变量及其分布列

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1、要点梳理 1.离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个_来表示,那 么这样的变量叫做_;按一定次序一一列出, 这样的随机变量叫做_.,12.4 离散型随机变量及其分布列,随机变量,离散型随机变量,变量,基础知识 自主学习,(2)设离散型随机变量 可能取的值为x1,x2,xn , 取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P( =xi)=pi, 则称表 为随机变量 的概率分布,具有性质:pi _0,i=1, 2,n；p1+p2+pi+pn=_. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取 这个范围内各个值的_.,1,概率之和,2.如果随机变量X的分布列为 其中0p1,q=1-p,

2、则称离散型随机变量X服从参数 为p的_.,两点分布,3.超几何分布列 在含有M件次品数的N件产品中,任取n件,其中含有X 件次品数,则事件X=k发生的概率为:P(x=k)= (k=0,1,2,m),其中m=minM,n,且 nN,MN, n、M、NN*,则称分布列 为超几何分布列.,基础自测 1.抛掷2颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的 随机试验结果是 ( ) A.2颗都是4点 B.1颗1点,另1颗3点 C.2颗都是2点 D.1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点 解析 由于抛掷1颗骰子,可能出现的点数是1,2,3, 4,5,6这6种情况之一,而X表示抛掷2颗骰子所得到的 点数之

3、和,所以X=4=1+3=2+2表示的随机试验结果是: 1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点,故选D.,D,2.袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五 个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X 的所有可能取值个数为 ( ) A.25 B.10 C.7 D.6 解析 X的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3, 1+5=6=4+2,2+5=7=3+4,3+5=8,4+5=9.,C,3.已知随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1，2， 3),则P(X=2)等于 ( ) A. B. C. D. 解析,C,4.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变

4、量X 去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于 ( ) A.0 B. C. D. 解析 “X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成 功,设失败率为p,则成功率为2p. 则X的分布列为 由p+2p=1得,C,5.一批产品共50件,其中5件次品,从这批产品中任意 抽两件,其中出现次品的概率是_. 解析 设抽到次品的件数为X,则X服从超几何分布, 其中N=50,M=5,n=2.于是出现次品的概率为 P(X1)=P(X=1)+P(X=2) 即出现次品的概率为,题型一 离散型随机变量的分布列 【例1】一袋中装有编号为1,2,3,4,5,6的6个大小相 同的球,现从中随机取出3个球,以X表示取出的最

5、大 号码. (1)求X的分布列； (2)求X4的概率. 先分析随机变量X的可能取值:3,4,5,6, 应用古典概型求出X取每一个值的概率,即得X的分 布列,求X4的概率即求P(X=5)与P(X=6)的和.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 (1)X的可能取值为3,4,5,6,从而有： 故X的分布列为,求离散型随机变量的分布列步骤是:(1)找 出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,);(2)求出 取各值xi的概率P(X=xi)；(3)列表,求出分布列后要注 意应用性质检验所求的结果是否准确.,探究提高,知能迁移1 袋中有3个白球,2个红球和若干个黑 球(球的大小均相同)，从中任取2个球,设

6、每取出一 个黑球得0分,每取出一个白球得1分,每取出一个红 球得2分,已知得0分的概率为 (1)求袋中黑球的个数及得2分的概率； (2)设所得分数为 ,求 的分布列.,解 (1)设有黑球x个,则 (2) 可取0,1,2,3,4, 的分布列为,题型二 离散型随机变量分布列的性质 【例2】设离散型随机变量X的分布列为 求：(1)2X+1的分布列； (2)|X-1|的分布列. 先由分布列的性质,求出m,由函数对应 关系求出2X+1和|X-1|的值及概率.,思维启迪,解 由分布列的性质知： 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,m=0.3. 首先列表为： 从而由上表得两个分布列为: (1)2X+1的

7、分布列：,(2)|X-1|的分布列： 利用分布列的性质,可以求分布列中的参 数值.对于随机变量的函数(仍是随机变量)的分布列, 可以按分布列的定义来求.,探究提高,知能迁移2 设随机变量 的分布列 (k=1,2,3,4,5). (1)求常数a的值； (2)求 (3)求 解 所给分布列为 (1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得,题型三 利用随机变量分布列解决概率分布问题 【例3】 (12分)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球 各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的 9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X表示 取出的3个小球上的最大数字,求： (1)取出的3个小球上的数

8、字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列； (3)计分介于20分到40分之间的概率. (1)是古典概型;(2)关键是确定X的所有 可能取值;(3)计分介于20分到40分之间的概率等于 X=3与X=4的概率之和.,思维启迪,解 (1)方法一 “一次取出的3个小球上的数字互 不相同”的事件记为A,则 3分 方法二 “一次取出的3个小球上的数字互不相同” 的事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相 同”的事件记为B,则事件A和事件B是互斥事件. 1分 3分,(2)随机变量X的可能取值为2,3,4,5，取相应值的概 率分别为 随机变量X的分布列为 10分,(3)由于按3个小球上最大数字的9倍

9、计分，所以当计 分介于20分40分时,X的取值为3或4, 所以所求概率为 在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归 到分布列上来,这样所求的概率就可由分布列中相应 取值的概率累加得到.,探究提高,知能迁移3 一批产品共10件,其中7件正品，3件次 品,每次从这批产品中任取一件,在下述三种情况下, 分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布列. (1)每次取出的产品不再放回去； (2)每次取出的产品仍放回去； (3)每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到 这批产品中.,解 (1)由于总共有7件正品,3件次品,所以，X的可 能取值是1,2,3,4,取这些值的概率分别为 所以X的概率分布列为,(2)由

10、于每次取出的产品仍放回去,下次取时完全相 同,所以X的可能取值是1,2,k,相应的取值概 率是： 所以X的概率分布列为,(3)与情况(1)类似,X的可能取值是1,2,3,4，而其相 应概率为 所以X的概率分布列为,1.所谓随机变量,就是试验结果和实数之间的一个对 应关系,这与函数概念本质上是相同的,只不过在函 数概念中,函数f(x)的自变量是实数x,而在随机变量 的概念中,随机变量X是试验结果.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪 些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率,对 于离散型随机变量,它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值

11、的概率. 3.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况 确定 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识 求出 取各个值的概率.,掌握离散型随机变量的分布列,须注意 (1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有 可能取得的值;第二行是对应于随机变量X的值的事 件发生的概率.看每一列,实际上是:上为“事件”, 下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反 映其结果的实数表示的.每完成一列,就相当于求一 个随机事件发生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列 的正误.,失误与防范,一、选择题 1.将一颗骰子均匀掷两次,随机变量为 ( ) A.第一次出现的点数 B.第二次出现

12、的点数 C.两次出现点数之和 D.两次出现相同点的种数 解析 A、B中出现的点数虽然是随机的,但他们取值 所反映的结果,都不是本题涉及试验的结果.D中出现 相同点数的种数就是6种,不是变量.C整体反映两次 投掷的结果,可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5, 6,7,8,9,10,11,12,共11种结果,但每掷一次前,无法 预见是11种中的哪一个,故是随机变量,选C.,C,定时检测,2.随机变量X的概率分布规律为 (n=1,2,3,4),其中a是常数,则 的值 为 ( ) A. B. C. D. 解析,D,3.若 其中x1x2, 则 等于 ( ) A. B. C. D. 解析 由分布列性质

13、可有：,B,4.从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地 任取3件,则取得次品数为1的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从 超几何分布,其中N=15,M=2,n=3,它的可能的取值为 0,1,2,相应的概率为,B,5.设 是一个离散型随机变量,其分布列为 则q的值为 ( ) A.1 B. C. D. 解析 由分布列的性质,有,D,6.一只袋内装有m个白球，n-m个黑球，连续不放回 地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了 个白球,下列概率等于 的是 ( ) A. B. C. D. 解析,D,二、填空题 7.如图所示,A、B两点5条连

14、线并联,它们在单位时间 内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中 任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量 为 ,则 =_.,解析 方法一 由已知, 的取值为7,8,9,10, 的概率分布列为,方法二 答案,8.随机变量 的分布列如下： 若a、b、c成等差数列,则 =_. 解析 a、b、c成等差数列, 2b=a+c,又a+b+c=1,9.连续向一目标射击,直至击中为止，已知一次射击 命中目标的概率为 则射击次数为3的概率为_. 解析 “ =3”表示“前两次未击中,且第三次击 中”这一事件,三、解答题 10.一个袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一 个球,每次取出的黑球不再

15、放回去,直到取得白球为 止,求取球次数的分布列. 解 设取球次数为 ,则,随机变量 的分布列为：,11.某校组织一次冬令营活动,有8名同学参加，其中 有5名男同学,3名女同学,为了活动的需要,要从这8 名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务,记 其中有X名男同学. (1)求X的分布列； (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.,解 (1)X的可能取值为0,1,2,3. 根据公式 算出其相应的概率, 即X的分布列为 (2)去执行任务的同学中有男有女的概率为,12.(2008北京理，17)甲、乙等五名奥运志愿者被 随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务,每个 岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)设随机变量 为这五名志愿者中参加