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1、小题标准练(六)(40分钟80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若复数满足i(z-1)=1+i(i为虚数单位),则z=()A.2-iB.2+iC.1-2iD.1+2i【解析】选A.由已知得iz=1+2i,所以z=2-i.2.若复数z满足z(4-i)=5+3i(i为虚数单位),则为()A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i【解析】选A.z=(5+3i)(4+i)17=1+i,z=1-i.3.下列函数中,既是偶函数又在(-,0)上单调递增的是()A.y=x2B.y=2|x|C.y=log2D.y=sin x【解析】
2、选C.函数y=x2在(-,0)上是减函数;函数y=2|x|在(-,0)上是减函数;函数y=log2=-log2|x|是偶函数,且在(-,0)上是增函数;函数y=sin x不是偶函数.综上所述,选C.4.在ABC中,“cos A=2sin Bsin C”是“ABC为钝角三角形”的()A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.在ABC中,A=-(B+C),所以cos A=-cos(B+C).又因为cos A=2sin Bsin C,即-cos Bcos C+sin Bsin C=2sin Bsin C.所以cos(B-C)=0,所以B-C=,所以B为钝角
3、.即ABC为钝角三角形.若ABC为钝角三角形,当A为钝角时,条件不成立.5.函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是()A.f(bx)f(cx)B.f(bx)f(cx)C.f(bx)f(cx)D.与x有关,不确定【解析】选A.由f(x+1)=f(1-x)知:函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以b=2,由f(0)=3知c=3,所以f(bx)=f(2x),f(cx)=f(3x).当x0时,3x2x1,又函数f(x)在1,+)上单调递增,所以f(3x)f(2x),即f(bx)f(cx);当x=0时,3x=2x=1,所以f(
4、3x)=f(2x),即f(bx)=f(cx);当x0时,03x2xf(2x),即f(bx)f(cx).综上知:f(bx)f(cx).6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是线段CD中点,则三棱锥P-A1B1A的侧视图为()【解析】选D.由长方体可知B1A1AA1,所以侧视图的左上角应是直角,排除选项A,B;且侧视图中,A1B1,AB1,AA1,AP,B1P均为实线,只有A1P为虚线,排除选项C.7.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()A.B.+83C.43+833D.43+83【解析】选A.由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的,其体积为:V=Sh=
5、23=.8.设数列an的前n项和为Sn,若2,Sn,3an成等差数列,则S5的值是()A.-243B.-242C.-162D.243【解析】选B.方法一:由题意得2Sn=3an+2,所以2Sn+1=3an+1+2两式相减an+1=3an,即an+1an=3,又2S1=3a1+2,所以a1=-2,所以an是首项为-2,公比为3的等比数列.所以S5=-242.方法二:由题意得2Sn=3an+2,所以2Sn+1=3an+1+2=3Sn+1-3Sn+2,所以Sn+1=3Sn-2,即Sn+1-1=3(Sn-1),又2S1=3a1+2,所以a1=-2,所以Sn-1是首项为-3公比为3的等比数列,所以Sn-
6、1=-3n,即Sn=1-3n,所以S5=1-35=-242.9.如图所示,平行四边形ABCD中,AB=2AD=2,BAD=60,E为DC的中点,那么与所成角的余弦值为()A.B.-C.714D.-714【解析】 选C.=+,|2=|+|2=7;=-=-AD, |2=|-|2=1.故=(+)(-)=12, cos=ACEB|AC|EB|=714.10.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为()A.2 01722 015B.2 0172 2 014
7、C.2 01622 015D.2 01622 014【解析】选B.如图,当第一行3个数时,最后一行仅一个数,为8=23-2(3+1);当第一行4个数时,最后一行仅一个数,为20=24-2(4+1);当第一行5个数时,最后一行仅一个数,为48=25-2(5+1);当第一行6个数时,最后一行仅一个数,为112=26-2(6+1).归纳推理,得当第一行2 016个数时,最后一行仅一个数,为22 016-2(2 016+1).11.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0) 上任意一点,M是线段PF上的点,且PM=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D.1【解析】选C
8、.设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t0),则=(2pt2-,2pt).由已知得=13,所以x-p2=2p3t2-p6,y=2pt3, 所以x=2p3t2+p3,y=2pt3, 所以kO M=2t2t2+1=,所以(kO M)max=.12.若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为()A.2B.-2C.12D.-12【解析】选D.作出线性约束条件的可行域.当k0时,如图所示,此时可行域为y轴上方、直线x+y-2=0的右上方、直线kx-y+2=0的右下方的区域,显然此时z=y-x无最小值.当k-1时,z=y-x取得最小值2;当k=-1时,z=y-x取得最小值-2,均不符合题
9、意.当-1ky0的实数x,y恒成立,则实数c的最大值为_.【解析】因为不等式2y2-x2c(x2-xy)对任意满足xy0的实数x,y恒成立,所以c=,令xy=t1,所以c,令f(t)=,则f(t)=t2-4t+2(t2-t)2 =,当t2+时,f(t)0,函数f(t)单调递增;当1t2+2时,f(t)0,函数f(t)单调递减;所以当t=2+2时,f(t)取得最小值,f(2+2)=22-4.所以实数c的最大值为22-4.答案:22-415.在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动,则的取值范围是_.【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中,设E(x,0),0x1.
10、又M,C(1,1),所以=1-x,12,=(1-x,1),所以=1-x,12(1-x,1)=(1-x)2+12.因为0x1,所以12(1-x)2+1232,即的取值范围是12,32.答案:12,3216.已知P(x,y)是抛物线y2=4x上的点,则(x-3)2+(y-2)2-x的最大值是_.【解析】由题意得抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,所以|PF|=x+1,则x=|PF|-1.设点A(3,2),则(x-3)2+(y-2)2-x=|PA|-(|PF|-1)=|PA|-|PF|+1,由图结合三角形的性质易得当P,F,A三点自下而上依次共线时,|PA|-|PF|取得最大值|AF|=(3-1)2+(2-0)2=22,所以(x-3)2+(y-2)2-x的最大值为22+1.答案:22+17
