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1、复数,第56讲,复数的概念与运算,1.理解复数的有关概念，以及复数相等的充要条件. 2.会进行复数的代数形式的四则运算. 3.了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义.,1.如果用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则下列关系正确的是（ ）,D,A.C=RI B.RI=0 C. CR=CI D.RI=,由复数的分类可知应选D.,2.已知向量 对应的复数为3-2i， 对应的复数为-4-i，则 对应的复数为（ ）,C,A.-1-i B.7-3i C.-7+i D.1+i,由复数运算的几何意义， = - =（-4-i)-(3-2i)=-7+i， 故选C.,3.复数z
2、1=3+i，z2=1-i，则z=z1z2在复平面内对应的点位于（ ）,D,A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,z=z1z2=(3+i)(1-i)=31+i(-i)+i-3i=4-2i,对应的点为（4，-2），位于第四象限.,4.已知复数z1=a+2i，z2=-2+i，且|z1|=|z2|,则实数a= .,1,由已知可得 = ， 则a=1.,5.若复数 为纯虚数(i为虚数单位,a为实数)，则实数a= .,-1,因为 = = = + 为纯虚数, 所以 =0，且 0，所以a=-1.,1.复数的代数形式：z=a+bi(a,bR),其中i2=-1,a为实部,b为虚部. 2.复数的分类
3、： 实数 (b=0) 虚数 (b0); 纯虚数 (a=0) 非纯虚数（a0).,复数a+bi,虚数a+bi(b0),3.复数相等的充要条件： a+bi=c+di . 4.复数的模： |a+bi|= = . 5.共轭复数：a+bi与a-bi互为 . 显然，任一实数的共轭复数是它自己.,a=c b=d,共轭复数,6.复数的代数形式的几何意义 复数z=a+bi(a,bR)可用复平面内的点Z(a,b)以及 表示,且三者之间为一一对应关系. 规定:相等的向量表示同一个复数. 7.复数的代数形式的四则运算： 若a、b、c、dR,则： (a+bi)(c+di)= ； (a+bi)(c+di)= ； = =
4、； 其中c、d不同时为0.,以原点为起点,点Z(a,b)为终点的向量,(ac)+(bd)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,8.复平面内两点间的距离：复平面内两点Z1、Z2对应的复数分别为z1、z2,则| |= = ,其中O为原点. 9.复数的加、减法的几何意义：复数的加、减运算满足向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则).,|z2-z1|,题型一 复数的概念及几何意义,例1,已知复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)I,当实数m为何值时， （1）z为纯虚数； （2）z为实数； （3）z对应的点在复平面的第二象限.,依据复数分类的条件和代数形式的几何意义求解.,（1）当m=3
5、时，z为纯虚数. lg(m2-2m-2)=0 m=3或m=-1 m2+3m+20 m-2或m-1 m=3.,z为纯虚数,(2)当m=-2或m=-1时，为实数. m2+3m+2=0 m=-2或m=-1 m2-2m-20 m1+3 m=-2或m=-1. (3)当m(-1,3)时,z对应的点在复平面的第二象限. lg(m2-2m-2)0 m2+3m+20, -1-1,z为实数,由,得,解得,，即-1m3.,复数为何属性的数的问题通常可转化为其实数、虚部应满足的条件，复数对应的点位于复平面的什么位置也取决于实部和虚部的取值.,题型二 复数的运算,例2,计算： (1) ; (2) .,(1)原式=i(-
6、2i)=-2i2=2. (2)原式= =i+ =i+-i=0.,复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位“i”的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.,题型三 复数的相等的充要条件及应用,例3,已知关于x的方程x2-(tan+i)x-(2+i)=0有实数根,求锐角的值及实数根.,由题设解是有实根，设其实根为x0，代入方程，由复数相等的充要条件即可求解.,设原方程的实根为x0, 则x02-(tan+i)x0-(2+i)=0, 即(x02-tanx0-2)-(x0+1)i=0， x02-tanx0-2=0 x0+1=0， 求得x0=-1,tan=1，又(0, )，
7、所以= . 故= ，实根为-1.,由复数相等的充要条件得,设z的共轭复数为 ，若z+ =4，z =8，求 的值.,设z=x+yi（x、yR)，则 =x-yi, 所以z+ =2x=4，所以x=2, 又z =x2+y2=8,所以y=2,所以z=22i, 所以 = = 或 ,即z=i或-i.,涉及复数方程问题一般转化为复数相等的充要条件问题求解.,题型四 复数加法运算的几何意义及应用,例4,若复数z满足|z+2|+|z-2|=8,求|z+2|的最大值和最小值.,在复平面内满足|z+2|+|z-2|=8的复数z对应的点的轨迹是以点(-2,0)和(2,0)为焦点，8为长轴长的椭圆.,|z+2|表示椭圆上
8、的点到焦点(-2,0)的距离. 椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和最小值. 因此，当z=4时，|z+2|有最大值6； 当z=-4时 ,|z+2|有最小值2.,此题若令z=x+yi,问题的条件和结论都是较复杂的式子，不好处理.从复数的加、减法的几何意义去理解，则是一道简单的几何问题.,若复数z满足|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.,(方法一)一般的，满足|z-z0|=r的复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，r为半径的圆. 因为圆|z+2-2i|=1的圆心为C(-2,2),半径r=1,而|z-2-2i|表示圆上的点到定点A(2，2)的距离,故其最小值为|CA|-
9、r=4-1=3.,(方法二)因为|z-2-2i|=|z+2-2i-4| |z+2-2i|-4|=3， 故|z-2-2i|min=3. (方法三)设z=x+yi(x,yR)， 因此有|x+2+(i-2)i|=1,即(x+2)2+(y-2)2=1. 又|z-2-2i|= = = , 而|x+2|= 1,即-3x-1， 所以当x=-1时，|z-2-2i|取得最小值3.,方法一是一种常规方法，注意z对应的点在圆上这一约束条件；方法二是几何法，以数寻形，有明显的几何特征，再由形解数，实现数与形的互化；方法三利用的是复数模的运算性质，体现了解题的灵活性.,在复数集C内解一元二次方程x2-4x+5=0.,由
10、于=b2-4ac=16-20=-40, 所以x= =2i.,实数集扩充为复数集后，解决了实系数一元二次方程在实数集中无解的问题，即在复数集中，实系数的一元二次方程总有解.当0时，实系数的一元二次方程有成对共轭虚数根.,1.设z=a+bi(a,bR),利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法. 2.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数. 3.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.,(2008辽宁卷)复数 的虚部是( ),B,A. i B. C.- i D.-,= = (-2-i)+ (1+2i)=- + i, 所以虚部为 .,(2009安徽卷)i是虚数单位, 若 =a+bi(a,bR)，则乘积ab的值是( ),B,A. -15 B. -3 C. 3 D. 15,= =-1+3i, 所以a=-1,b=3,ab=-3，故选B.,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,
