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1、第十一章 动量矩定理,第十一章 动量矩定理,质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩。,11-1 质点和质点系的动量矩,1. 质点的动量矩,质点对于点O的动量矩是矢量，垂直于矢径 r 与 mv 所形成的平面，矢量指向按照右手法则确定。,大小为：,质点动量在Oxy平面内的投影：,是代数量：,对点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对 z轴的动量矩。,质点对点O的动量矩在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩。,动量矩的量纲：,动量矩的单位：,例：质量为m质点在 xoy 平面内运动，运动方程为 x=acost、y=bsin2t，a、b、为常量。求该质点对O点动量矩。,解：,由定义，可得：
2、,或用代数量,方向垂直xoy平面,2. 质点系的动量矩,质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和，或称为质点系动量对O点的主矩。,质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一z轴动量矩的代数和。,即：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。,可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。,刚体绕定轴转动时：,令:,-称对Z轴的转动惯量,则:,即：绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。,刚体平移时：,例：均质圆盘质量为m，以绕A转动，已知圆盘对A点的转动惯量JA，求圆盘对点A的动量矩。,解：定轴转动,例：半径为
3、R的均质圆盘质量为m，速度V，只滚不滑，已知圆盘对质心的转动惯量Jc，求圆盘对点A的动量矩。,解：平面运动,例：物体质量为m，求物体对点A的动量矩。,解：物体平移,例：半径为R的均质圆盘A、B质量为m，A只滚不滑，圆盘对质心的转动惯量JO，C质量为m1，以速度V下落。求系统对点O的动量矩。,解：,A平面运动，B定轴转动，C平移,例：两个均质绕线轮，质量各为m，半径为R，对质心的转动惯量为mR2/2，图示瞬时两轮角速度均为。求系统对固定轴O的动量矩。,解：,系统对轴O的动量矩为A和B对O动量矩的代数和。,A对O的动量矩，有：,B对O的动量矩， B作平面运动,系统对轴O的动量矩，为：,例：球C和D
4、重均为G，杆中点固定在AB上。杆绕AB以匀角速度转动。求质点系对转轴的动量矩：(1)不计杆重；(2)均质杆CD重2G。,解：,质点的速度为,(1)不计杆重，动量矩如下：,转向为逆时针,(2)均质杆CD重2G，动量矩如下：,取微元，质量和速度为：,微元对轴的动量矩：,杆对轴的动量矩：,质点系对轴的动量矩：,动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩。,动量在Oxy平面内的投影,对点O的矩称为动量对于z轴的矩：,质点系的动量矩：,小结一下：,刚体作一般运动时：,质点系对任一点A的动量矩等于集中于系统质心的动量 mvc 对于点A的动量矩和此系统对于质心C的动量矩的矢量和。,可将全部质量集中于质心，
5、作为一个质点计算其动量矩。,刚体绕定轴转动：,刚体平移：,1.质点的动量矩定理,质点对定点O的动量矩为 Mo(mv) 作用力F对同一点的矩为 Mo(F),将动量矩对时间取一次导数，,根据质点动量定理：,且,11-2 动量矩定理,质点动量矩定理：,质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。,实际应用取在直角坐标轴上的投影式，由对点的动量矩与对轴的动量矩的关系，得：,即： 质点对某定轴动量矩对时间一阶导数等于作用力对于同一轴的矩。,2.质点的动量矩守恒定律,如果作用于质点的力对于某定点的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变，,=恒矢量,如果作用于质点的力对于某定轴的矩恒等于
6、零，则质点对该轴的动量矩保持不变，,=恒量,3.质点系的动量矩定理,质点上作用外力和内力；,n个质点，有：,质点系动量矩定理：质点系对于某定点O动量矩对时间导数，等于作用于质点系的外力对于同一点矩的矢量和（外力对点O的主矩）。,内力成对出现：,应用时，取投影式：,即： 质点系对于某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一定轴的矩的代数和。,注意： 上述动量矩定理的表达形式只适用于对固定点或固定轴,4.质点系动量矩守恒定律,由质点系动量矩定理：,内力不能改变质点系的动量矩，外力才能使质点系的动量矩发生变化。,质点系动量矩守恒定律：,当外力对于某定点（或某定轴）的主矩（或力矩的代数和
7、）等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。,例11-1：高炉运送矿石用的卷扬机。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道的倾角为。设绳的质量和各处摩擦均不计。求小车的加速度a。,解：,小车与鼓轮组成质点系，以顺时针为正，此质点系对O轴的动量矩为：,受力分析：P1、Fx、Fy对O轴的矩为零。PN、Pn对O的矩相消。,flash,系统外力对O轴的矩为：,由质点系对O轴的动量矩定理,解得,小车的加速度沿斜坡向上。,例11-3：小球A、B以细绳相连，质量皆为m，其余构件质量不计。忽略摩擦，系统绕z轴自由转动
8、，初始时系统的角速度为0。当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成角时系统的角速度。,解：,此系统所受的重力和轴承支反力对于转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动量矩守恒。,flash,11-3 刚体绕定轴的转动微分方程,1.刚体绕定轴转动,刚体上作用有主动力和轴承约束反力。根据质点系对于 z 轴 的动量矩定理有：,或：,也可写成：,或：,刚体绕定轴的微分方程,即：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。,结论：,(1)作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动状态发生变化；,(2)如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等于零，则刚体作匀速转动；,如果主动力对转轴
9、的矩的代数和为恒量，则刚体作匀变速转动,(3)在一定时间间隔内，当主动力对转轴的矩相同时，刚体的转动惯量越大，转动状态变化越小；转动惯量越小，转动状态变化越大。,刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。即：转动惯量是刚体转动时惯性的度量。,例11-4：滑轮半径为R，转动惯量为J，胶带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速度。,解：,根据刚体绕定轴的转动微分方程，有：,可得：,只有匀速转动时，或转动惯量可忽略即不计质量时：,拉力F1和F2时才相等,例11-6：飞轮重P，半径R，对转轴的转动惯量JZ，以0 转动。制动时闸块对轮缘的法向压力为Q，动摩擦系数 f 不变，不计轴承摩擦。求制动所需时
10、间。,解：,可通过求得,外力只有F对Z轴有矩：,刚体转动微分方程：,飞轮从0 0，需知和t的关系,例11-7：轴系和轴系的转动惯量为J1和J2，传动比i12=R2/R1，R1、R2为轮1和轮2的半径，轴上有主动力矩M1，轴上有阻力矩M2。求轴的角加速度。,解：,可通过转动微分方程求。分别取两轴系研究，有：,重力、轴承反力和Fn无矩,轴系：,轴系：,又：,可得：,M1、M2是常数时，为常数。,如初始及末时的角速度已知，,由：,可解得1,进而可解得M1、M2及F,2,刚体的转动惯量是 刚体转动时惯性的度量,各质点的质量与质点到轴的垂直距离平方的乘积之和,转动惯量与质量大小有关，且与质量的分布情况有
11、关。,转动惯量的单位：,解决工程中刚体转动问题，必须理解转动惯量的概念，并会计算或测定转动惯量。,1. 简单形状物体的转动惯量计算,(1)均质细直杆对于 z轴 的转动惯量,单位长度的质量,11-4 刚体对轴的转动惯量,(2)均质薄圆环对于中心轴的转动惯量,圆环质量为m，半径为R,圆环沿圆周分成许多微段，每段质量为mi,微段到中心轴的距离都等于半径R,圆环对于中心轴z的转动惯量为：,(3)均质圆板对于中心轴的转动惯量,圆板的半径为R，质量为m，分为无数同心的薄圆环。,任一圆环的半径为ri，宽度为dr，则圆环的质量为：,均质圆板单位面积的质量。,或,2.惯性半径（或回转半径）,对于均质物体，其转动
12、惯量与质量的比值仅与物体的几何形状和尺寸有关。,细直杆,均质圆环,均质圆板,形状相同而材料不同的物体，上列比值是相同的。,令,惯性半径（或回转半径）,形状相同的均质物体，惯性半径是一样的,若已知惯性半径，则物体的转动惯量：,即：物体的转动惯量等于该物体的质量与惯性半径平方的乘积,3. 平行轴定理,定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离 d 平方的乘积，即,Z轴通过质心C，且C在Y轴上，刚体对Z轴的转动惯量为JZC，对Z轴的转动惯量为JZ。,由图：,在Cxyz坐标系中，,又,故：,当物体由几个几何形状简单的物体组成时，计算整体
13、的转动惯量可先分别计算每一部分的转动惯量，然后再合起来。,如果物体有空心的部分，可把这部分质量视为负值处理。,例11-9： 冲击摆由均质杆OA 和 圆盘 组成，已知杆长L ，质量M1。圆盘半径R，质量M2。 求摆对OZ轴（垂直版面）转动惯量。,解：,由定义,杆对轴的转动惯量：,盘对轴的转动惯量：,于是得：,动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩。,动量在Oxy平面内的投影 ， 对点O的矩为动量对于z轴的矩。,质点系的动量矩：,可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。,刚体绕定轴转动：,刚体平移：,小结：,刚体作一般运动时：,质点系对任一点A的动量矩等于集中于系统质心的动量 mv
14、c 对于点A的动量矩和此系统对于质心C的动量矩的矢量和。,质点动量矩定理：,质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。,即： 质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对于同一轴的矩。,质点动量矩守恒定律：,如果作用于质点的力对于某定点的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变 ；,=恒量,如果作用于质点的力对于某定轴的矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变 。,=恒量,刚体的转动惯量：,令,惯性半径（或回转半径）,平行轴定理：,具体运用时质心运动定理使用投影式：,或,质点系动量矩定理： 质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢
15、量和（外力对点O的主矩）。,应用时，取投影式,即：质点系对于某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一定轴的矩的代数和。,注意： 上述动量矩定理的表达形式只适用于对固定点或固定轴。,质点动量矩定理：,质点系的动量矩定理：,质点系动量矩守恒定律：,当外力对于某定点（或某定轴）的主矩（或力矩的代数和）等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。,根据质点系对于z轴的动量矩定理有：,或,即：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积， 等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。,刚体绕定轴的微分方程：,刚体对于z轴的转动惯量Jz，是刚体转动惯性的度量，定量式为：,刚体对于两平行轴的转
16、动惯量的关系为：,式中，Jzc是刚体对于通过质心的轴的转动惯量。,刚体的运动分解为随质心的平移 绕质心的转动两部分。,取质心为基点,Cxy为固连于质心C的平移参考系，,刚体相对于此动系的运动就是绕质心C的转动。,刚体对质心的动量矩为：,刚体的位置可由xC、yC和确定。,设刚体上的外力可向质心所在平面简化为一平面力系。,应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得：,即,刚体的平面运动微分方程,11-5 刚体的平面运动微分方程,具体运用时质心运动定理使用投影式：,或,质点系对于质心的动量矩定理：,质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对质心的主矩。,即,刚体的平面运动微分方程：,具体运用时质心运动定理使用投影式：,或,例：均质杆长L，重 P，悬挂在O轴上，处在铅垂位置。给B端一与杆垂直的速度V0时，杆与O轴脱离。求脱离O轴后的运动方程。,解：,杆作平面运动，要求xc、yc和
