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1、,工程力学,第十七章 动力学普遍定理,171 动量定理 172 动量矩定理 173 动能定理 174 动力学普遍定理的综合应用,第十七章 动力学普遍定理,171动量定理,第十七章 动力学普遍定理,在前面一章讨论的是质点动力学基本方程，而从本章起将讨论的是动力学普遍定理。它包括质点与质点系的动量定理、质心运动定理、质点与质点系的动量矩定理、质点与质点系的动能定理等。,17-1 动量定理,第十七章 动力学普遍定理, 质点动量定理的微分形式,由质点动力学基本方程，有,则,（171）,质点的质量m与速度v的乘积称为质点的动量，质点的动量对时间的一阶导数等于作用在该质点上的力。这就是微分形式的质点动量定
2、理,质点动量定理,第十七章 动力学普遍定理, 质点动量定理的积分形式,第十七章 动力学普遍定理,上式表明，在任一段时间内，质点动量的增量等于作用在质点上的力在同一段时间的冲量。这就是质点动量定理的积分形式，又称为质点的冲量定理。,（174）,称为力 （时间的函数）在时间间隔（ ）内的冲量。冲量是矢量，它的运算按矢量运算法则进行，亦即，在任一段时间内，合力的冲量等于各个分力的冲量的矢量和，单位 。,（173）在直角坐标轴上的投影形式为,第十七章 动力学普遍定理,（175）, 质点动量守恒,1、若作用于质点上的力为零， ， 则有 ，则质点动量保持不变。 2、若 ，则有 。,第十七章 动力学普遍定理
3、,有几个质点组成的质点系， 内力、 外力。对i质点,有,将质点系中每个质点的动量定理相加有,内力 ，,故,质点系的动量定理,第十七章 动力学普遍定理,各质点动量的矢量和，质点系的动量用K表示。,（176）,于是有：,（177）,上式称为质点系动量定理的微分形式，即质点系的动量（主矢） 对时间的导数，等于作用于该质点上所有力的主矢 。,投影在直角坐标轴上：,第十七章 动力学普遍定理,（178）,将（177）改成,质点系动量的微分等于质点系所受外力系的动量的矢量和。,积分后有：,改写为：,（179）,第十七章 动力学普遍定理,上述即为质点系动量定理的积分形式，又称冲量定理。即，质点系动量在某时间间
4、隔内的改变量，等于各质点系所受全部外力在同一时间间隔内动量的矢量和。,在坐标轴上投影有：,（1710）,上式表明：在某一时间间隔内，质点系动量在任一固定轴上投影的改变量，等于作用于质点系的外力动量在同轴上投影的代数和。,易用动量定理解决的问题有：流体流过弯曲管道、射流对障碍物表面的压力及碰撞问题等。,第十七章 动力学普遍定理,【解 】,其方向：,第十七章 动力学普遍定理,第十七章 动力学普遍定理,【解】,第十七章 动力学普遍定理,第十七章 动力学普遍定理, 质量中心,组成质点系各质点的质量及其在空间位置是不同的，表征质点系的各质点的质量及其位置分布情况的一个几何点称为质量中心，简称质心。,确定
5、质心位置的方法与重心类似（同第四章）,（1711）,质心运动定理,第十七章 动力学普遍定理,而其坐标公式：,（1712）,质心和重心是两个不同的概念，质心是质点系质量中心，质心只取决于质量的分布情况，与质点系所受力无关。质心和重心只有在重力场中才重合为一个点。,第十七章 动力学普遍定理,质点系的动量：,质点系的动量等于质点系中所有各质点的动量的矢量和。,由质心位置公式：,则,（质量不随时间变化）,即：质点系的动量等于质点系的质量与其质心速度的乘积：,（1713）,投影在直角坐标轴上：,第十七章 动力学普遍定理, 质心运动定理,第十七章 动力学普遍定理,或,（1716）,上式称为质心运动定理。即
6、，质点系的总质量与质心加速度的乘积等于质点所受外力的矢量和。,对于刚体或刚体系统，由于刚体的质心位置难以确定，故用 比较方便。,投影形式：,（1717）,第十七章 动力学普遍定理, 质心运动守恒定理,由 ，若 ，则 ， 常矢量。,第十七章 动力学普遍定理,即，若作用于质点系的外力系主矢恒等于零，则质心作惯性运动，若质心的初始速度也等于零， ，则 常矢量。即质心位置静止。,若 ，则 ， 常数，即质心在x轴上守恒，又若v0在x轴上投影也为零，则 常数，质心在x轴方向静止。,上述的质心运动守恒和质心位置守恒，通常称为：质心运动守恒定理。,第十七章 动力学普遍定理,例,已知：a、b、l、m1 、 m2
7、、求：船的位移s。,解：,例,匀质杆长为l ,质量为m,当细绳被突然剪断时，杆子的角加速度为，角速度为零，求支座A处的反力。,解：,例,已知：轮子A的质量为m1，物块B的质量为m2，三角块D放置在光滑面上，三角块D和轮子C的质量不计，物块B以加速度a 上升，求地面凸出处给三角块的水平作用力。,解：,解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。,练习： 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为 P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2
8、 =30时船的位移。,受力分析如图示， ，且初始 时系统静止，所以系统质心的位置坐标 XC保持不变。,船的位移x，杆的位移,重物的位移,计算结果为负值，表明 船的位移水平向左。,172动量矩定理,第十七章 动力学普遍定理,引 言,均质轮受外力作用而绕其质心O作定轴转动，它有角速度和角加速度，但对于轮的动量为：,外力的矢量和为：,这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动是的运动。,第十七章 动力学普遍定理,一、质点的动量矩,动量矩：动量对某点（轴）之矩。,1、质点对某点之矩：质点在某瞬时的动量对O点之矩定义为质点在某瞬时对点O的动量矩。,一、质点的动量矩定理,质点A对点O的动量矩：,第十
9、七章 动力学普遍定理,质点A对点O的动量矩：,质点A对Z轴的动量矩：,方向： 是代数量，它的正负可以通过右手定则判断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的方向，大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。 或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。,单位：,大小：,第十七章 动力学普遍定理,动量矩定理,二、质点的动量矩定理,设有质点A，受外力作用，由牛顿第二定律：,且,在等式两边同时叉乘矢径,第十七章 动力学普遍定理,其中：,第十七章 动力学普遍定理,质点对点的动量矩定理,即：质点对任一点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对该点之矩。,第十七章 动
10、力学普遍定理,上式向坐标轴投影后得：,即：质点对固定轴的动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对该轴之矩。,质点对轴的动量矩定理,第十七章 动力学普遍定理,一、质点系动量矩,1、对点的动量矩：,2、对轴的动量矩（即上式在各轴上的投影）：,3、刚体的动量矩,（1）平移刚体：刚体上任意点的速度均与其质心速度相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。,对点的：,对轴的：,二、质点系的动量矩定理,二、质点系的动量矩定理,质点系中某质点对固定点的动量矩定理为：,质点系对固定点的动量矩定理为：,其中：,第十七章 动力学普遍定理,质点系对固定点的动量矩定理,即：质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于
11、质点系的外力对该点之矩的矢量和。,上式向轴投影后的：,质点系对固定轴的动量矩定理,即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于质点系的外力对该轴之矩的矢量和。,第十七章 动力学普遍定理,三、动量矩守恒定理,若： 则 （常量）,若： 则 （常矢量）,第十七章 动力学普遍定理,运动分析：,由动量矩定理：,解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。,单摆，已知m，l，t =0时 = 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。,例,即：,注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正） 质点动量矩定理的应用： （1）在质点受有心力的作用时。 （2）质点绕某心（轴）转动的问题。,摆
12、动周期：,微幅摆动时， 并令 ，则,解微分方程：,则运动方程为：,例,卷扬机，鼓轮半径为R，质量m1，转动惯量J，作用力偶M，小车质量 m2，不计绳重和摩擦，求小车的加速度a。,解：运动分析和受力分析,刚体的转动惯量,刚体对某轴的转动惯量：刚体内各质点质量与各质点到轴的矢径大小平方的乘积之和。,单位：,一、简单形状刚体的转动惯量,1、均质杆对质心轴的转动惯量,单位长度的质量为：,2、均质薄圆环对过圆心轴的转动惯量,单位弧长的质量为：,取微弧长为：,3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量,可将圆盘分割成无数小的圆环，则各圆环质量为：,第十七章 动力学普遍定理,另外：,二、平行移轴定理计算复杂形状刚体
13、转动惯量,平行移轴定理：,即：刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对过其质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。,第十七章 动力学普遍定理,例1：求均质细直杆对过其端点O的轴的转动惯量。,解：,第十七章 动力学普遍定理,定轴转动刚体对转动轴的动量矩：,定轴转动刚体对z轴的转动惯量,平面运动刚体的动量矩,平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一固定轴的动量矩为：,即：其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动时对该轴的动量矩之和。,第十七章 动力学普遍定理,圆盘对过其质心轴的转动惯量：,杆对过点对过点O的轴的转动惯量， 用平行移
14、轴定理求得：,例2：求钟摆对过点O的轴的转动惯量。,解：,杆对过点对过点O的轴的转动惯量：,刚体的运动微分方程,对转动轴的动量矩为：,动量矩定理：,且,刚体定轴转动时的运动微分方程,一、定轴转动刚体的运动微分方程,第十七章 动力学普遍定理,二、平面运动刚体的运动微分方程,刚体相对质心轴的动量矩定理为,刚体质心运动的运动微分方程为,（2）,（1）,（1）、（2）式共同成为刚体平面运动的运动微分方程为,第十七章 动力学普遍定理,解:,由 , ， 得,第十七章 动力学普遍定理,例,r,x,C,M,aC,FN,mg,F,均质圆轮半径为r，质量为m，沿水平直线滚动，轮的惯性半径为C，作用于圆轮的力偶矩为
15、M。（1）求轮心的加速度。（2）如果圆轮对地面的静滑动摩擦系数为fs，问M应满足什么条件使圆轮只滚不滑。,解： （ 1）运动分析和受力分析。,（2）,和M均以顺时针为正。,（2）只滚不滑的条件：,动量定理和动量矩定理是用矢量方法，根据质点系的运动量与质点系所受外力的关系，研究动力学问题。动能定理则是用能量法研究动力学问题。,能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动能和作用力的物理量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。,173 动能定理,57,力的功是代数量: 时,正功； 时,功为零； 时,负功。,质点作直线运动，路程为S, (M1M2)，力在位移方向上的投影为Fcos ，力F在路程S 中所作的功为：,(一)常力的功,一、 力的功,58,元功：,设质点M在变力F的作用下作曲线运动。将曲线分成无限多个微小段ds，力F在微段上可视为常力，所作的微小的功称为元功：,(二)变力的功,（ds的方向在曲线的切线方向，与dr同向，）,59,力在全路程中作功为,自然形式表达式,矢量式
