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1、一特征函数的定义及例子,设X, Y是实随机变量,复随机变量 Z=X + jY 的数学期望定义为,特别,预备知识5 特征函数,注,1） costx 和 sintx 均为有界函数, 故,总存在.,2) 是实变量t 的函数.,X是实随机变量,求随机变量函数的数学期望,定义5.1 设X是定义在(,F , P )上的随机变量,称,为X的特征函数.,关于X的分布函数的富里埃-司蒂阶变换,当X是连续型随机变量,则,当X是离散型随机变量,则,Ex.1 单点分布,Ex.2 两点分布,Ex.3 二项分布,Ex.4 泊松分布,Ex.5 指数分布,Ex.6 均匀分布,Ex.7 正态分布N(a,2),特别对正态分布N(
2、0,1)，有,证明,二特征函数性质,性质5.1 随机变量X的特征函数满足：,证,许瓦茨不等式(6.1.3),性质5.2 随机变量X的特征函数为 则Y= aX+b的特征函数是,a, b是常数.,Ex.8 设N(a,2), 求其特征函数.,解 设XN( 0, 1),有Y=X+ a, 且,证,性质5.3 随机变量X的特征函数 在R上一致连续.,使 时,对t 一致地有,一般，,性质5.4 特征函数是非负定的函数，即对任意正整数n, 任意复数z1, z2 , zn,及,证,注,以上性质中 一致连续性，非负定性是本质性的.,定理5.1 (波赫纳辛钦) 函数 为特征函数的充分必要条件是在R上一致连续, 非负
3、定且,下定理给出了特征函数与矩的关系,注 逆不真.,证 仅证连续型情形,设X的概率密度为f(x)，有,令t=0，得,故,Ex.9 随机变量X服从正态分布,解,故,同理，可进一步计算随机变量X的k阶中心矩,三反演公式及惟一性定理,由随机变量X的分布函数可惟一确定其特征函数：,问题,能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？,？,从而,定理5.3（反演公式）设随机变量X 的分布函数和特征函数分别为F(x)和,则对F(x)的任意连续点x1, x2,（x1x2）,有,推论1(惟一性定理)分布函数F1(x)和F2(x)恒等的充要条件是它们的特征函数 和 恒等.(参见P245）,推论2 若随机变量X的特征函数
4、 在R上绝对可积，则X为连续型随机变量，其概率密度为,反演公式,注,对于连续型随机变量X，概率密度与特征函数互为富氏变换.,则,推论3 随机变量X 是离散型的,其分布律为,反演公式,证 设 有,Ex.9 随机变量X在 上服从均匀分布, Y=cosX, 利用特征函数求Y的概率密度.,解,X的概率密度为,Y的特征函数为,令,根据特征函数与分布函数的惟一性定理, 知随机变量Y的概率密度为,Ex.10 已知随机变量X的特征函数为,试求X的概率分布.,解 因,根据特征函数的惟一性定理, 知随机变量X的分布律为,四 多维随机变量的特征函数,定义5. 4 二维随机变量(X, Y)的特征函数定义为,连续型,注
5、 多维随机变量的特征函数定义见P247.,离散型,例 (X, Y)服从二维正态分布,则其特征函数为,性质5.5 二维随机变量(X, Y)的特征函数满足以下性质,1. 对任意t1, t2R, 有,2.,3. 在实平面上一致连续.,4.,性质5.6 设二维随机变量(X, Y)的特征函数为 则,1.随机变量 的特征函数为,2. Z=aX+bY+c 的特征函数为,特别有,证,Ex.11 设(X1, X2)服从二维正态分布,且E(Xk)= k, k=1,2. 记,求Y=X1+X2的特征函数.,解,故 Y=X1+X2N(3,12).,性质5.7 分布函数 与 恒等的充分必要条件是它们的特征函数 与 恒等.
6、,.,定理5.3 随机向量 相互独立的充要条件是其特征函数满足,证明参见P249.,在上式中特别取ti = t，i=1,2, ,n, 有,推论1 设随机变量 相互独立, 令 , 则Y的特征函数为,注意：定理5.3与推论1的区别？,练习：XU(0,1), PY=0=PY=1=1/2, X,Y相互独立，试确定X+Y的分布？,Ex.12 随机变量YB(n, p), 写出其特征函数.,解 二项分布随机变量Y可表示为,且XkB(1, p),(k=1,2,n)相互独立,故Y 的特征函数为,推论2 若随机变量 相互独立同分布, 则 的特征函数为,Ex.13 若X1,X2,Xn相互独立,且XkN(0,1),证明 也服从N(0,1)分布.,证 Xk的特征函数为 ,则,从而,由惟一性定理知,YN(0,1).,
