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1、第三章 晶格振动,解：,(1),个原子的运动方程可写成,（1）在单原子晶格中，若只计相邻原子的互作用，第n,依题设，原子的振动位移可表示为,(2),将(2)式代入(1)式，得,因为,因此,故得格波的色散关系为,（2）,原子链上总能量可写为,其中求和遍及链上的所有原子。,又因为一维单原子链的色散关系为,或者,所以,得平均总能量,3.2 证明：在由两种不同质量M、m(Mm)的原子所组成的一维 复式格子中，如果波矢q取边界值 (a为相邻原子间 距)，则在声学支上，质量为m的轻原子全部保持不动；在光学 支上，质量为M的重原子保持不动。,证明：如图所示，设质量为m的轻原子位于2n-1，2n+2，2n+3
2、，. 各点；设质量为M的轻原子位于2n-2，2n，2n+2，各点。,令 表示原子间的恢复力系数，运动方程写为,将试探解代入运动方程有,经整理变成,(1),要A、B有不全为零的解，方程(1)的系数行列式必须等于零， 从中解得,(2),光学支：,声学支：,因为,由上式得到,由此可见，当波矢q取边界值时，声学支中轻原子保持不动 (A=0)，光学支中重原子也保持不动(B=0)。,3.3 一维复式格子，原子质量都为m,晶格常数为a，任一个原子与最近邻原子的间距为b,若原子与最近邻原子和次近邻原子的恢复力常数为 和 ，试列出原子的运动方程并求出色散关系。,解：,此题为一维双原子链。,设第,个原子的,位移分
3、别为,。,第,与第,个原子属,于同一原子，第,与第,个原子属于同一原子，,于是,第,和第,原子受的力分别为,其运动方程分别为,设格波的解分别为,代入运动方程，得,整理得,由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即,解上式可得,由上式可知，存在两种独立的格波。,声学格波的色散关系为,光学格波的色散关系为,解：,（1）只考虑最近邻原子的相互作用,得,将 的值代回方程得到色散关系,（2）,（a）当上式取+号时为光学波,当 时：,当 时：,（b）当取-号时为声学波,当 时：,当 时：,3.5 证明由N个质量为m的相同原子组成的一维单原子晶格，每单位频率间隔内的振动模式数为,证明：,一维单原
4、子链只有一支格波,据模式密度的一般表示式,（1）,因为对一维单原子链波矢空间的波矢密度,，且只有一支,格波。,所以由（1）式得,得,解：设有一坐标为x与x+dx间的介质元, t 时刻x点处的位移为 u=u(x,t), x+dx点处的位移为u+du。于是，应变为,以E表示弹性模量，按定义，,式中f是引起形变的力。作用在介质元dx上的净力为,这就是连续介质的波动方程，其解为,将u(x,t)代入(1)式，得到,即,因此，一维介质弹性波传播的相速度为,3.7 证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成 弹性波方程,解：,如果只计及近邻原子间的相互作用，第n个原子的运动方程,为,因为,所以第n个
5、原子的运动方程化为,在长波近似下，,运动方程又化为,（1）,在长波近似下，当l为有限整数时，,上式说明，,在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子,以相同的振幅、相同的位相做集体运动。,因此（1）式可统一写成,第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些,原子的整体的运动所构成。,这些原子偏离平衡位置的位移,，即是宏观上的质点位移,。,从宏观上看，原子的位置,可视为准连续的，原子的分离,可视为连续坐标x，即,于是,（2）式化为,其中,是用微观参数表示的弹性波的波速。,第（l1，m）原子对它的作用力,并把试探解,同时代入，消去公因子后得,所以,格波的传播速度,可见，在长波极限下，格
6、波的传播速度与波矢q无关。,(3)式变为,式中，,常”现象：当,为常数，p遍取所有的整数值，试证明“科恩(Kohn)反,。,和第np个原子对第n个原子的作用力可写成,链上每个原子与第n个原子都有相互作用，故第n个原子的运动 方程应为,设试探解为,代入运动方程可得,故格波的色散关系为,(1),解：,由,所以,解：由N个原子组成的单原子晶体共有3N个自由度，独立晶格 振动方式数也等于3N，晶体振动的总能量便等于晶体振动的总 能量便等于这3N个谐振动的能量之和，即,(1),上式中的第二项是3N个经典谐振子的平均能量之和；第一项与 温度无关，是爱因斯坦模型下的零点振动能。,3.12 试用德拜模型求 解
7、上题。,(1),当N很大时，格波的频率分布是准连续的，故上式可用下列 积分计算：,(2),所以,上式中的第二项是3N个经典谐振子平均能量之和，第一项是 德拜模型下晶体的零点振动能。,此时(2)式中的积分变为,因此，从(2)式求得,上式表示，在德拜模型中，低温时晶格振动能与温度的4次方 成正比。,解：按照德拜理论，在频率,间隔内的独立振动方式,数为,由此求得晶体总振动能（略去零点能）,上式中的积分一般的不能用解析方法求得，但在极限的情况下， 它有如下简单的结果：,在高温极限下：,在低温极限下：,代入上式，得到晶体在高温极限下的总振动能,低温极限下的总振动能,3.17 对于NaCl晶体，已知恢复力
8、常数 ，试分别求出NaCl晶体中光学支格波和声学支格波的最高频率和最低频率。（已知Cl和Na的原子量分别为35.5和23.0）,解：因为一维双原子晶体的色散关系为,在本题设下，式中m、M分别代表Na、CL原子的质量。当括号 内取“+”号时代表光学支 ，取“”号时代表声学支 。从 上式得知，光学支的最大频率是,而光学支的最小频率是,声学支的最大频率是,解：(1)对于一维双原子链，格波光学支的最高频率为,(1),式中， 为原子间的恢复力常数；m、M分别代表两种原子的质 量。对于NaCL，已知Na原子质量 ，CL原子质量 ，平衡时， 和 的距离为 ， 。因此，从(1)式可得其恢复力常数,(2)对于声
9、学波，在长波极限下，其传播速度为,所以,解：,表示；,如图所示，离子的坐标由na,由于热,运动，,。,库仑定律，两粒子间的互相斥力为,式中，k为静电衡量；r为离子间距。,(1),因为离子偏离平衡位置的热动动只是一种微振动，可将(1)式 括号中的项在平衡位置附近按泰勒级数展开，并只计及一次项,它们离开平衡位置的位移记为,根据,相互作用，运动方程可表述为,如果只考虑相邻离子间的,则有,令试探解为,（2）,式中，A、,、q分别为振幅、角频率和波矢。,式得出,即,式中,为格波的最高角频率：,（3）,把上式代入(2),把下列数据代入：,得到,最大波速对应于长波极限下的波速。,此时q很小，(3)式给出,于
10、是，得到最大波速为,证明：对于一维单原子链，格波的色散关系为,(1),因而aq=S/N是一个与原子间距a无关的参量，可以把(1)式写成,(2),对于一维单原子链，格林爱森常数,Na为晶链的长度。把(3)式代入即得,(4),因而,故(4)式可写作,证明：按定义，晶体的体胀系数,使用熟知的循环关系式,上式化为,(1),代回(1)式即得,证明：,（1）设离子链沿水平方向。,上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向指向右端。,考虑到,可将上式展成,级数，,取一级近似得,第 个离子左端的第 个离子与第 个离子间的库仑力为,取一级近似得,第 个离子和第 个离子对第 个离子间的库仑合力为,可见库仑力对力常数的贡献为,（2）,第 个离子的运动方程为,设格波解,则由离子的运动方程得,令,可得,（3）,记,则有,由此知，当,时，,由于格波的频率,因此,说明,此振动模式对应的恢复力系数,相当于弹簧振子系统,的弹簧丧失了弹性。,所以称 的振动模式为软模。,
