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1、重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,数学建模电子教案,重庆邮电大学 数理学院 沈世云 023-62460842 ,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,差分方程模型,重庆邮电大学 数理学院 沈世云,7.1 差分方程基本知识 7.2 市场经济中的蛛网模型 7.3 减肥计划节食与运动 7.4 差分形式的阻滞增长模型 7.5 按年龄分组的种群增长,第七章 差分方程模型,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,7.1 差分方程基本知识,1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程
2、中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,Fibonacci 数列,问题,13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作算盘书中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,将
3、兔群总数记为 fn, n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列fn满足下列递推关系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.,Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,日常的经济问题中的差分方程模型,1. 银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数
4、列就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,2. 家庭教育基金,从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为an，每年
5、向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,3 . 抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？,设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,一阶线性差分
6、方程,在上述模型中，给出了an+1与an之间的递推公式. 将它们写成统一的形式： a0=c, an+1=an+b, n=0,1,2,3, 称此类递推关系为一阶线性差分方程. 当b=0时称为齐次差分方程，否则称为非齐次差分方程.,定义1 对任意数列A=a1,a2,an,，其差分算子定义如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2, an=an+1-an, ,定义2 对数列A=a1,a2,an,，其一阶差分的差分称为二阶差分, 记为2A=(A). 即： 2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an,一般地，可以定义n阶差分.,重庆邮电大学市级精
7、品课程-数学建模,差分方程 an+1= an+b的解,定理1 一阶线性差分方程 an+1= an+b 的通解是：,定理2 对一阶线性差分方程 an+1= an+b, 若 | |1, 则 an逐渐远离平衡解 b/(1- ) (发散型不动点).,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。,若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可分成,（7.1）,的形式，其对应的齐次方程为,（7.2）,也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（7.1）也成
8、立。,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程,（7.3）,(C1,Cn为任意常数),，,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,为任意常数，i=1,2k。,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,初始条件为y(0)=2和y(1)=3，求方程的齐次解。,例2.系统的差分方程,特征根为,于是,由初始条件,解得：,故齐次解,解：特征方程为,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,2、特解,特解得求法：将激励x(n)代入差分方程右端得到自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。,（1）自由项为nk的多项式,1不是特征根：,1是K重特征根：,
9、重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,（2）自由项为,不是特征根，则特解,是特征单根，则特解,是k重特征根，则特解,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,（3）自由项为正弦 或余弦 表达式,（4）自由项为正弦,不是特征根,是特征根,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,例3： 求下示差分方程的完全解,其中激励函数 ，且已知,解：特征方程：,齐次通解：,将 代入方程右端，得,设特解为 形式，代入方程得,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,日常的经济问题中的差分方程模型,1. 银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账
10、户，银行的年利率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,2. 家庭教育基金,从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%
11、计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,家庭教育基金模型的解,由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 得通解:,将 a0=x, =1+r, b=x 代入, 得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解是:,将 a18=100000,r=0.03 代入计算出 x=3981.39.,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,3 . 抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套，共需3
12、0万元. 他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？,设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,购房抵押贷款模型的解,由 a0=200000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,2,3, 将 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解:,若在第N个月还清贷款，令 aN=0, 得:,将 a0=200000, r =0.00
13、6, N=20*12=240 代入计算出 x=1574.70,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,4 . 分期付款,小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售. 一台售价8000元的电脑，可分36个月付款，每月付300元即可. 同时他收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为15%. 那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？,经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同. 设第n个月后的欠款额为an，则 a0=8000, an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3, 贷款模型 a0=8000, an+1=(1+0.15/12)an-x
14、, n=0,1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,7.2 市场经济中的蛛网模型,问 题,供大于求,现 象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,蛛 网 模 型,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,设x1偏离x0,x1,P0是稳定平衡点
15、,P0是不稳定平衡点,曲线斜率,蛛 网 模 型,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模, 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度, 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量,考察 , 的含义, 消费者对需求的敏感程度, 生产者对价格的敏感程度,小, 有利于经济稳定, 小, 有利于经济稳定,结果解释,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,经济不稳定时政府的干预办法,1. 使 尽量小，如 =0,以行政手段控制价格不变,2. 使 尽量小，如 =0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,重庆邮电大学市级精品课程-数学建模,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件,重庆邮电大学市
