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1、奥赛辅导讲座-由数列的递推公式求通项公式一准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作an，an的公式叫做数列的通项公式常用的数列有等差数列和等比数列等差数列等比数列定义数列an的后一项与前一项的差anan1为常数d数列an的后一项与前一项的比为常数q（q0）专有名词d为公差q为公比通项公式an=a1+（n1）dan=a1qn1前n项和Sn=Sn=数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是：an=SnSn1（n2）有些数列不是用通项公式给出，而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：an1=2an+3，这样的公式称为数列的递推公式由数列的递推公式我们可以
2、求出其通项公式数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题二例题精讲例1（裂项求和）求Sn= 解：因为an=所以Sn=1例2（倒数法）已知数列an中，a1=，an+1=，求an的通项公式解：是以为首项，公差为2的等差数列，即+2（n1）=an=练习1已知数列an中，a1=1，Sn=，求an的通项公式解：是以1为首项，公差为2的等差数列=1+2（n1）=2n1，即Sn=an=SnSn1=an=例3（求和法，利用公式an=SnSn1，n2）已知正数数列an的前n项和Sn=，求an的通项公式解：
3、S1=a1=，所以a1=1an=SnSn1 2Sn=SnSn1+Sn+Sn1=，即Sn2Sn12=1是以1为首项，公差为1的等差数列Sn2=n，即Sn=an=SnSn1=（n2）an=例4（叠加法）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3（）n1（n3），且S1=1，S2=，求an的通项公式解：先考虑偶数项有：S2nS2n2=3S2n2S2n4=3S4S2=3将以上各式叠加得S2nS2=3，所以S2n=2+再考虑奇数项有：S2n1S2n1=3S2n1S2n3=3S3S1=3将以上各式叠加得S2n1=2所以a2n+1=S2n+1S2n=43，a2n=S2nS2n1=4+3综上所述an=，即a
4、n=（1）n1例5（an+1=pan+r类型数列）在数列an中，an+1=2an3，a1=5，求an的通项公式解：an+13=2（an3）an3是以2为首项，公比为2的等比数列an3=2nan=2n+3练习2在数列an中，a1=2，且an+1=，求an的通项公式解：an+12=an2+an+121=（an21）an+121是以3为首项，公比为的等差数列an+121=3，即an=例6（an+1=pan+f（n）类型）已知数列an中，a1=1，且an=an1+3n1，求an的通项公式解：（待定系数法）设an+p3n=an1+p3n1则an=an12p3n1，与an=an1+3n1比较可知p=所以是
5、常数列，且a1=所以=，即an=练习3已知数列an满足Sn+an=2n+1，其中Sn是an的前n项和，求an的通项公式解：an=SnSn1Sn+SnSn1=2n+12Sn=Sn1+2n+1（待定系数法）设2（Sn+pn+q）=Sn1+p（n1）+q化简得：pnpq=2n+1，所以，即2（Sn2n+1）=Sn2（n1）+1，又S1+a1=2+1=3，S1=，S12+1=Sn2n+1是以为公比，以为首项的等比数列S n2n+1=，即Sn=+2n1，an=2n+1Sn=2例7（an+1=panr型）（2005年江西高考题）已知数列an各项为正数，且满足a1=1，an+1=（1）求证：anan+10，所以log2（2an+1）=log2（2an）2=2log2（2an）1log2（2an+1）1=2log2（2an）1即log2（2an）1是以1为首项，公比为2的等比数列log2（2an）1=12n1化简得an=2练习4（2006年广州二模）已知函数（）在数列中，（），求数列的通项公式解：，从而有，由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有（）。例8（三角代换类型）已知数列an中，a1=2，an=，求an的通项公式解：令an1=tan，则an+1=tanan=tan
