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1、第36练直线与圆锥曲线问题题型一直线和椭圆的位置关系例1如图所示,椭圆C1:1(ab0)的离心率为,x轴被曲线C2:yx2b截得的线段长等于C1的短轴长C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.(1)求C1,C2的方程;(2)求证:MAMB;(3)记MAB,MDE的面积分别为S1,S2,若,求的取值范围破题切入点(1)利用待定系数法求解曲线C1,C2的方程(2)设出直线AB和曲线C2联立,利用坐标形式的向量证明(3)将S1和S2分别表示出来,利用基本不等式求最值(1)解由题意,知,所以a22b2.又22b,得b1.所以曲线C2的方程
2、:yx21,椭圆C1的方程:y21.(2)证明设直线AB:ykx,A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知M(0,1)则x2kx10,(x1,y11)(x2,y21)(k21)x1x2k(x1x2)1(1k2)k210,所以MAMB.(3)解设直线MA的方程:yk1x1,直线MB的方程:yk2x1,由(2)知k1k21,M(0,1),由解得或所以A(k1,k1)同理,可得B(k2,k1)故S1|MA|MB|k1|k2|.由解得或所以D(,)同理,可得E(,)故S2|MD|ME|,则的取值范围是,)题型二直线和双曲线的位置关系例2已知双曲线C:x2y21及直线l:ykx1.(1)若l与C有
3、两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为,求实数k的值破题切入点(1)联立方程组,利用0求出k的取值范围(2)联立方程用根与系数的关系求解解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得(1k2)x22kx20.解得k|x2|时,SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|;当A,B在双曲线的两支上且x1x2时,SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.SOAB|x1x2|,(x1x2)2(2)2,即()28,解得k0或k.又k0,b0)的上焦点为F,上顶点为A,B为虚轴的端点,离心率e
4、,且SABF1.抛物线N的顶点在坐标原点,焦点为F.(1)求双曲线M和抛物线N的方程;(2)设动直线l与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果是,试求出该点的坐标,如果不是,请说明理由破题切入点(1)根据双曲线的性质,用a,c表示已知条件,建立方程组即可求解双曲线的方程,然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程(2)设出点P的坐标,根据导数的几何意义求出切线方程,并求出点Q的坐标,然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程,将问题转化为方程恒成立的问题来解决解(1)在双曲线中,c,由e,得,解得ab,故c2b.所以SABF(ca)b(2bb)b
5、1,解得b1.所以a,c2,其上焦点为F(0,2)所以双曲线M的方程为x21,抛物线N的方程为x28y.(2)由(1)知抛物线N的方程为yx2,故yx,抛物线的准线为y2.设P(x0,y0),则x00,y0x,且直线l的方程为yxx0(xx0),即yx0xx.由得所以Q(,2)假设存在点R(0,y1),使得以PQ为直径的圆恒过该点,也就是0对于满足y0x(x00)的x0,y0恒成立由于(x0,y0y1),(,2y1),由0,得x0(y0y1)(2y1)0,整理得2y0y0y12y1y0,即(y2y18)(2y1)y00,(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的x0,y0恒成立,所以解得y12
6、.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点,定点坐标为(0,2)总结提高直线和圆锥曲线的位置关系问题,万变不离其宗,构建属于自己的解题模板,形成一定的解题思路,利用数形结合思想来加以解决1已知圆C:(x1)2y28,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足2,0,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线ykx与(1)中所求点N的轨迹E交于不同的两点F,H,O是坐标原点,且,求k2的取值范围解(1)如图所示,连接NA.由2,0,可知NP所在直线为线段AM的垂直平分线,所以|NA|NM|,所以|NC|NA|NC|NM|22|CA|,所以动点N的轨迹是以C(1,0
7、),A(1,0)为焦点的椭圆,且长轴长为2a2,焦距2c2,即a,c1,b1.故曲线E的方程为y21.(2)设F(x1,y1),H(x2,y2)由消去y,得(2k21)x24kx2k20,8k20,由根与系数的关系,得x1x2,x1x2,所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)k21k21.由,得,解得k21.2(2013广东)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线l:xy20的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线
8、AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值解(1)依题意知,c0,解得c1.所以抛物线C的方程为x24y.(2)由yx2得yx,设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为yy1(xx1),即yxy1,即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20,又点P(x0,y0)在切线PA和PB上,所以x1x02y02y10,x2x02y02y20,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x2y02y0 的两组解,所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义知|AF|y11,|BF|y21,
9、所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1,联立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0,y1y2x2y0,y1y2y,|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522,当y0时,|AF|BF|取得最小值,且最小值为.3(2013浙江)如图,点P(0,1)是椭圆C1:1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2y24的直径l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程;(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程解(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(
10、x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为ykx1.又圆C2:x2y24,故点O到直线l1的距离d,所以|AB|22 .又l2l1,故直线l2的方程为xkyk0.由消去y,整理得(4k2)x28kx0,故x0.所以|PD|.设ABD的面积为S,则S|AB|PD|,所以S,当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.4已知双曲线E:1(a0,b0)的焦距为4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线xy0相切(1)求双曲线E的方程;(2)已知点F为双曲线E的左焦点,试问在x轴上是否存在一定点M,过点M任意作一条直线交双曲线E于
11、P,Q两点(P在Q点左侧),使为定值?若存在,求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在,请说明理由解(1)由题意知a,a.又2c4,c2,b1.双曲线E的方程为y21.(2)当直线为y0时,则P(,0),Q(,0),F(2,0),(2,0)(2,0)1.当直线不为y0时,可设l:xtym(t)代入E:y21,整理得(t23)y22mtym230(t)(*)由0得m2t23.设方程(*)的两个根为y1,y2,满足y1y2,y1y2,(ty1m2,y1)(ty2m2,y2)(t21)y1y2t(m2)(y1y2)(m2)2.当且仅当2m212m153时,为定值,解得m13,m23(舍去)综上,过定
12、点M(3,0)任意作一条直线交双曲线E于P,Q两点,使1为定值5已知过抛物线y22px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若,求的值解(1)直线AB的方程是y2(x),与y22px联立,从而有4x25pxp20,所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2p9,所以p4,从而抛物线方程是y28x.(2)由p4,知4x25pxp20可化为x25x40,从而x11,x24,y12,y24,从而A(1,2),B(4,4)设(x3,y3)(1,2)(4,4)(41,42),又y8x3,所以2(21)28(41),即(21)241,解得0,或2.6(2014辽宁)圆x2y24的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图)双曲线C1:1过点P且离心率为.(1)求C1的方程;(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线