导数以及应用七个考点例析

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1、1 导数以及应用全面解读 大纲分析 导数是高中数学知识的重要组成部分，是高中数学与大学数学最重要的一个衔接点，在近三年高考中， 导数作为必考内容出现在各地高考试卷中。 1、了解导数概念的某些实际背景，理解导数函数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义。 2、熟记基本导数公式的导数） 。掌握两个函数和、差、积、商的求xxaexxxc a xxm log,ln,cos,sin,( 导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。了解函数的单调性的概念，掌握一些简单函 数的单调性的判断方法。 3、了解可导函数的单调性与其导数间的关系，可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

2、（导数在 极值点两侧异号） ，会求一些实际问题（一般指单调函数）的最大值和最小值。 高考导数重点考查的知识有： 1、客观题主要考查导数的概念、性质、几何意义、物理意义、导数简单应用等基础知识。 2、解答题主要考查导数与函数的单调性质、极值性质和导数之间的关系以及工具在代数、三角、几何与 数学建模等综合问题中的应用。 复习时，一定夯实基础知识，准确理解导数定义、性质、几何意义、物理意义，牢固掌握两个函数和、 差、积、商和复合函数的求得法则；二会运用导数知识解决函数单调性、极值和数学建模等问题；三能构造 函数，运用导数和函数的单调性质，解决代数式大小比较、不等式证明、参数取值范围、最值、恒成立等问

3、 题。 考点例析： 考点一：考查导数的几何意义 导数几何意义是函数在 x 处的导数,就是曲线在点处切线的斜率。其中点)(xfy 0 )(xfy ),( 00 yx 必须在函数上，当点不在曲线上，要设出切点，再用导数几何意义解决。 0 x 2 例 1已知函数处取得极值。13)( 23 xxbxaxxf在 （1）讨论和是函数的极大值还是极小值) 1 (f) 1(f)(xf (2)过点 A(0,16)作曲线的切线，求此切线方程)(xfY 考查点：本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和 解决问题的能力。 解析：（1）解 f即依题意得，0) 1() 1 (

4、, 323)( 2 ffbxaxx xxxfba ba ba 3)( . 0 , 1: 0323 0323 3 解得 1, 1, 0)() 1)(1(333)( 2 xxxfxxxxf得令 若上是增函数在故则) 1,()(, 0)(), 1 () 1,( xfxfx 若是极大值上是减函数，所以，在故则2) 1() 1 , 1()(, 0)(),1 , 1( fxfxfx 是极小值2) 1 (f （2）解：曲线方程为点 A（0，16）不在曲线上.3 3 xxy 设切点为 M(，则点 M 的坐标满足), 00 yx 0 3 00 3xxy 因故切线的方程为).1( 3)( 2 00 xxf)(1(

5、 3 0 2 00 xxxyy 注意到点 A（0，16）在切线上，有)0)(1( 3)3(16 0 2 00 3 0 xxxx 化简得),2, 2(2, 8 0 3 0 Mxx切点为解得 切线方程为0169 yx 评注: 已知曲线上的某点去切点的切线问题，对于此类问题要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两 层含义：一是该点的导数值等于切线的斜率；二是该点坐标满足已知曲线的方程。 2、当已知的某点不在曲线上，求过此点的切线问题，此类问题求解时，要先设出切点坐标，利用导数的 几何意义表示出切线方程，再把已知点代入切线方程，从而得出所求的方程。 3、利用导数的几何意义，证明不等式或求参数范围问题，由

6、导数的几何意义可知，函数 yf（x）的图 3 象上任意两点，连线的斜率的取值范围，就是曲线上任一点的切),( 11 yxP),( 22 yxQ 21 21 xx yy k )( 21 xx 线斜率（如果有的话）的范围，利用这一结论，就可进行不等式证明或求参数范围。 追踪练习： 1、求抛物线过点 P（，6）的切线方程。 2 xy 2 5 练后反思：由于点在于点（，6）不在曲线上，因此可以在任取一点 Q，通过 2 5 2 xy 2 xy ),( 2 00 xx 建立等量关系。此类题目应先分析切线过的点，是否在曲线上，如果在曲线上，直接用公式 y0| xx PQ yk K（x） ，否则，先求出曲线上

7、切点的坐标，然后再利用上述公式求得。y4x6，y6x9 此即 0 y 0 x 所求的切线方程。 2、已知直线 xy10 与抛物线 y相切，则的值为_。 2 axa 练后反思：根据导数的几何意义，设出切点坐标，则在切点处的导数等于直线的斜率，又切点在直线和抛 物线上，联立方程即求出。 4 1 a 3、曲线 y和 yx 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是_。 x 1 2 练后反思：由题意知，只要求出两曲线的交点坐标及切线方程，再结合三角形的面积公式就能求出。 两条切线方程为：yx2 和 y2x1，所围成的图象是三角形，所以 S=。 4 3 ) 2 1 2(1 2 1 考点二：研究

8、函数的单调区间问题 函数的单调区间的考查主要集中在两种题型上：函数单调区间的求解以及由函数在某个区间的增减性求 函数中相应参数的取值范围。函数单调区间在求取时，一定要注意函数导数计算的准确性，二要注意函数定 义域的求解。应用导数研究函数单调性的基本方法，往往涉及分类讨论思想、数形结合思想等，考查综合有 数学知识解决问题的能力。因此，在复习应用导数求函数单调性的相关问题时，要注意加强对前面章节知识 的复习和巩固，强化小综合的应用问题，拓展解决问题的思路。 例 2 设函数，其中 求 f（x）的单调区间。) 1ln() 1()(xaaxxf . 1 a 解：由已知得函数 f（x）的定义域为，且),

9、1().1( 1 1 )( a x ax xf （1）当时，函数 f（x）01a0)( xf在上单调递减。), 1( 4 （2）当时，由，解得0a0)( xf. 1 a x 当时，函数 f（x）在上单调递减。) 1 , 1( a x0)( xf) 1 , 1( a 当时，函数 f（x）在上单调递增。), 1 ( a x0)( xf), 1 ( a 综上所述： 当时，f（x）在上单调递减；01a), 1( 当时，函数 f（x）在上单调递减，在上单调递增。0a) 1 , 1( a ), 1 ( a 点评：在求解含参数的函数的单调区间时，要注意对参数进行讨论。 例 3、已知函数，若 f（x）的单调减

10、区间恰为)(2) 1(3)( 223 bkxkkxxf （0，4） ，f（x）在点 P（b，f（b） ）处的切线的方向向量为 a（1，12） ，求 k、b 的值。 解：因为 f（x）的单调减区间恰为（0，4） ，所以的解集为，0) 1(63)( 2 xkkxxf40| xx 所以 0、4 是方程的两根，0) 1(63 2 xkkx 所以，所以 k1，又因为点 P 处的切线的方向向量为 a（1，12） ， k k 3 ) 1(6 4 所以点 P 处切线的斜率，所以，即，)( 12bfkbb12312 2 044 2 bb 所以 b2， ，所以 k1，b2. 点评：该题中函数 f（x）的单调递减区

11、间恰为（0，4）的解集为0)( xf . 若改为函数 f（x）在区间（0，4）上单调递减，则说明（0，4）是单调减区间的子集，故40| xx 应转化为在（0，4）上恒成立，解题时要注意这两种不同的说法有不同的含义，不要混淆。0)( xf 追踪练习： 1若对于可导函数 f（x） 、g（x） ，当 x时恒有，若已知是一锐角三角 1 , 0)()()()( xgxfxgxf, a 函数的两个内角，且，记 F(x)，则下列不等式正确的是（ ）)0)( )( )( xg xg xf A、 B、 )(cos)(cosFaF)(sin)(sinFaF C、 D、)(cos)(sinFaF)(sin)(cos

12、FaF 练后反思：本题已知导函数满足的特点，可以推出 5 原函数的单调性，再结合三角函数的性质求解。答案为 C。 2、已知函数在点处取得极大值 5， ，其导函数cxbxaxxf 23 )( 0 x 的图象经过点（1，0） ， （2，0） ，如图所示，求：)( xfy （I）的值 0 x （II）a，b，c 的值 练后反思：函数的增减性可由导数的值符号反映出来，由导函数的图象可以大略知道函数的图象，利用图 象把导函数与函数紧密结合起来考查，求得1；a2，b9，c12. 0 x 考点三、应用导数解决优化问题 导数的引入开辟了求解最值问题的新途径，用其解优化问题思路是：用函数表示数学问题，即建立目

13、标函数，然后用导数知识解决问题。主要考查数学建模能力以及用导数解决具体问题的能力。 例 4、甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂 和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管总费用最省？ 分析：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，技巧与方法主要有：根据题 设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选 定变量，构造

14、相应的函数关系。 解：根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适当的位置，才能使总费用最省，设 C 点距 D 点 xkm， ，因为 BD40，AC50x，所以)500( x ，又设总的水管费用为 y 元，依题意有： 2222 40xBDCDBC ， 22 405)50(3xaxay)500( x 22 40 5 3 x ax ay 令，解得 x30.0y 在（0，50）上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在 x30（km）处取得最小值，此时 AC50x20（km） 6 所以供水站建在 A、D 之间距甲厂 20km 处，可使水管总费用最省。 点评：解决实际应用问题关键在于建立数学

15、模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题 的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学 方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）. 追踪练习：用总长m 的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边 8 . 14 长m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.5 . 0 练后反思：设容器底面边长为m，另一边长为m，高为，x)5 . 0( xx xx 22 . 3 4 )5 . 0(44 8 . 14 且注意和.列出容积的目标函数，把问题转化为求函数的最值问题。求得当022 . 3 x6 . 100xx 时，(m3).1x8 . 16 . 12 . 22 max y 考点四：导数、函数、不等式的交汇 以函数为载体，以导数为工具，函数、不等式等的交汇成为考查的热点，考查导数的单调性、极值性