河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学（文）试题（解析版）

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1、1 河北衡水中学河北衡水中学 2016-20172016-2017 学年度学年度 高三下学期数学第三次摸底考试（文科）高三下学期数学第三次摸底考试（文科） 必考部分必考部分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.已知 虚数单位，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：根据题意，有 ，故选 B 考点：复数的运算 2.已知集合，则集合等于（ ） A. B. C. D.

2、【答案】D 【解析】 ,选 D. 3.已知是 上的奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的性质利用 f（0）0 求出 a 的值，然后代入计算求解即可 【详解】因为是 上的奇函数，所以，得,. 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质利用 f（0）0 是解决本题的关键，属于基础 2 题 4.在面积为 的正方形内任意投一点，则点到四边的距离均大于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 易知正方形的边长，到两边距离均大于，则形成的区域为边长为的小正方形，其概率为 ,故选 C. 5.已知，则

3、的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为,所以. ，故选 A. 6.已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线 段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率 等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 由题意得渐近线斜率为 ，即 ，选 D. 7.在中， “ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 时，所以必要性成立； 时，所以充 分性不成立，选 B. 8.已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是 （ ） 3 A. B. C. D. 【答案

4、】A 【解析】 由题意得 ，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三 顶点为 ）： ，而 ，所以直线过 C 取最大值 ，过 B 点取最小 值， 的取值范围是，选 A. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误 地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较， 避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 9.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其 底面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题

5、意，几何体为锥体，高为正三角形的高 ，因此底面积为 ，即底面为等腰直角 三角形，直角边长为 2，周长为 ，选 C. 10.20 世纪 30 年代，德国数学家洛萨-科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果 是偶数，就将它减半； 如果 是奇数，则将它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 1，这就是著名的“ ”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出 的值为 8，则输入正整数的所有可能值 的个数为（ ） 4 A. 3B. 4C. 6D. 无法确定 【答案】B 【解析】 由题意得 ；，因此输入正整数的所有可能值的个数为 4， 选 B. 11.已知函数的导数为，若对任意的都

6、有，则 的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 . 得：, 化简得,不等式两边同除以得：. 有，令， ,在上单调递增，, 所以只需，解得，故选 A. 利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 （1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据 5 要求得所求范围.一般地，f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina 即可；f(x)a 恒成立，只需 f(x)maxa 即可. (2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构 建不等式求解. 12.已知向量 满足，若，

7、的最大值和最小值分别为，则 等于（ ） A. B. 2C. D. 【答案】C 【解析】 把 放入平面直角坐标系，使 起点与坐标原点重合，方向与 轴正方向一致， 则，设， 因为，所以，所以，. 设，所以, 化简得：，即. 点可表示圆心在，半径为的圆上的点. ， 所以最大值，最小值为. 因为，所以，解得. 所以. 故选 C. 点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式， 涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式 及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来

8、解决列出方程 组求解未知数. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上 6 13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5 家商场商 品的售价 元和销售量 件之间的一组数据如下表所示： 价格 8.599.51010.5 销售量 1211976 由散点图可知，销售量 与价格 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则 _ 【答案】39.4 【解析】 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随

9、机变量的关 系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程， 回归直线方程恒过点. 14.将函数的图象向右平移个单位（） ，若所得图象对应的函数为偶函数，则的 最小值是_ 【答案】 【解析】 向右平移个单位得为偶函数，所以 ，因为，所以 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目 中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇函数；函数是偶函数 ；函数是奇函数；函数 是偶函数. 15.在中，点在边上，且满足，若，则 _ 【答案】 【解析】 7 设，得. 在中，由正弦定理

10、可得，代入解得， . 在中，所以. 由勾股定理可得，化简整理得,. 所以,. 16.已知是过抛物线焦点 的直线与抛物线的交点， 是坐标原点，且满足 ，则的值为_ 【答案】 【解析】 因为，所以 因此，所以 因为 ，所以 ，因此 三、解答题三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知数列前 项和为，等差数列的前 项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：. 【答案】 （1）；（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）利用，求通项； （2）分别求出和，作差比较大小即可. 试题解析： （1）因为，所以当时， 8 所以，即，

11、 所以从第二项开始是公比为 4 的等比数列，即， 因为，所以，解得， 当时，解得，则， 所以是首项为 1 公比为 4 的等比数列，其通项公式为； （2）由（1）知，所以， 设数列的公差为 ，所以， 解得，所以， 所以， 所以 所以 18.在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了 40 名学生的成绩作为样本，这 40 名学生的成绩全部 在 40 分至 100 分之间，现将成绩按如下方式分成 6 组：第一组，成绩大于等于 40 分且小于 50 分；第二组， 成绩大于等于 50 分且小于 60 分；第六组，成绩大于等于 90 分且小于等于 100 分，据此绘制了如图所示 的频率分布直方图.在选

12、取的 40 名学生中. （1）求成绩在区间内的学生人数及成绩在区间内平均成绩； （2）从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 3 名学生，求至少有 1 名学生成绩在区间内的概率. 【答案】 （1）71.875；（2） . 【解析】 试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义计算即可. （2）用列举法求出从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 3 名学生的事件个数，查出至少有 1 名学生成绩在 90，100的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解 试题解析： （1）因为各组的频率之和为 1，所以成绩在区间的频率为 9 ， 所以 40 名学生中成绩在区间的学生人数为， 易知成绩在区间内的人数

13、分别为 18，8，4，2， 所以成绩在区间内的平均成绩为； （2）设 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生，至少有 1 名学生成绩在区间内” ， 由已知（1）的结果可知成绩在区间内的学生有 4 人， 记这四个人分别为 成绩在区间内的学生有 2 人， 记这两个人分别为，则选取学生的所有可能结果为： ， 基本事件数为 20 事件“至少有 1 名学生成绩在区间之间”的可能结果为 ， 基本事件为数 16， 所以 19.如图，在长方体中，点 在棱的延长线上，且. （1）求的中点 到平面的距离； （2）求证：平面平面 【答案】 （1）；（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）利用

14、三棱锥等体积法计算距离即可； （2）要证平面平面，只需证平面即可. 10 试题解析： 证明：（1）连接， 四边形是平行四边形， ，又平面，平面， 平面， 点 到平面的距离等于点 到平面的距离，由， 得，又易知 的中点 到平面的距离为 （2）由已知得， 则， 由长方体的特征可知平面， 而平面，面积， 平面，又平面，平面平面 20.如图，已知为椭圆上的点，且，过点 的动直线与圆 相交于两点，过点 作直线的垂线与椭圆 相交于点 （1）求椭圆 的离心率； （2）若，求 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，再根据 离心率定义求椭圆 的离心率；（2）先根据垂

15、径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直 线 AB 的斜率,根据垂直关系可得直线 PQ 的斜率,最后联立直线 PQ 与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式 求 11 试题解析：解：（1）依题知， 解得，所以椭圆 的离心率； （2）依题知圆 的圆心为原点，半径为， 所以原点到直线的距离为， 因为点 坐标为，所以直线的斜率存在，设为 所以直线的方程为，即， 所以，解得或 当时，此时直线的方程为， 所以的值为点 纵坐标的两倍，即； 当时，直线的方程为， 将它代入椭圆 的方程，消去 并整理，得， 设 点坐标为，所以，解得， 所以 点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地

16、利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系 数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往 利用点差法. 21.已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意及，恒有成立，求实数的取值范 围 【答案】 （1）见解析；（2）. 【解析】 试题分析：（1）求导得，讨论单调性即可； （2）若对任意及，恒有 12 成立，求的最大值，最小值，解得恒成立，得 . 试题解析： （1）， 当时，令，得或， 令，得； 当时，得，令，得或， 令，得； 当时， 综上所述，当时，函数的递减区间为和，递增区间；当时，函数在 上单调递减；当时，函数的递减区间为和，递增区间为 （2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递减， 当时，函数取最大值；当时，函数取最小值 ，整理得 ， 恒成立， ，