河南省名校联考2019届高三联考（四）数学（文）试题（精品解析）

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1、2018201820192019 学年高三名校联考（四）学年高三名校联考（四） 数学（文科）数学（文科） 考生注意：考生注意： 1.1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置在答题卡上的指定位置. . 2.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. .如需改动，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. .回答非选择题

2、时，将答案写在答题卡上，写在本试卷回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效上无效. . 3.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. . 一、选择题一、选择题. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得，然后求两个集合的交集. 【详解】依题意，故，故选 B. 【点睛】本小题主要考查补集、交集的概念和运算，属于基础题. 2.若复数 满足，则（ ） A. 1B. C. D. 【答案】C 【解析】

3、 【分析】 化简 为的形式，再求. 【详解】依题意，故，故选 C. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题 的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与 复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解. 3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过的为（ ） A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和 B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和 C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和 D. 新浪与小说的访问量所占比例之和 【答案】B 【解析】 【分

4、析】 根据图表，分析出两个网站访问量不超过的选项. 【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选 B. 【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题. 4.若函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得切点坐标，然后利用导数求得斜率，由此求得切线方程. 【详解】依题意，由点斜式得，即切线方程为，故选 A. 【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于基础题. 5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，所得函数的单调 递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D

5、【解析】 【分析】 先求得变换后函数的解析，然后求得函数的单调减区间. 【详解】图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，变为，由 ，解得，故选 D. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数单调减区间的求法，属于基础题. 6.若双曲线 ：的两条渐近线分别与直线 ：交于， 两点，且（ 为坐 标原点）的面积为 4，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求得渐近线的方程，令求得交点的坐标，利用三角形的面积建立方程，求得 的值，进而求 得离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，令，解得，不妨设，所以 ，所以，所以，故选 B. 【点睛】

6、本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查两条直线交点的坐标，考查三角形的面积公式和双曲 线离心率的求法，属于中档题. 7.函数的零点个数为（ ） A. 3B. 2C. 1D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 令，转化为两个函数图像的交点个数来求零点个数. 【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两 个交点，也即有两个零点，故选 B. 【点睛】本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数 学思想方法，属于基础题. 8.已知抛物线：与圆：交于 ， ， ， 四点.若轴，且线段 恰为圆的一条直径，则点 的横坐标为（ ） A. B. 3C.

7、D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 求出圆心和半径，根据 轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得 的值， 设出 点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得 点的横坐标. 【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为 ，由于 轴和 线段恰为圆的一条直径，故.将 点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线 方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以 ，化简得，解得，故 点横坐标为 .故选 A. 【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆 的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查

8、向量的数量积运算， 运算量较大，属于中档题. 9.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的帝京景物略 一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为 1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则 该陀螺模型的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积. 【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的 母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为 ，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选 C. 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化

9、，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基 础题. 10.若，则实数 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断出大于 ，而 小于 ，得到最小为 .然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小. 【详解】，而，故 是最小的.由于 ，即，即，故选 D. 【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中 档题. 11.运行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 1011，则判断框中可以填（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用程序框图的功能，进行模拟计算即可 【详解】程序

10、的功能是计算 S1sin +3sin+5sin+13+57+9+， 则 10111+505213+57+9+ 则第 1011 个奇数为 2101112021 不成立， 第 1012 个奇数为 2101212023 成立， 故条件为 i2022？， 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题. 12.在正方体中，点平面，点 是线段的中点，若，则当的面 积取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 取的中点 ，连接，证明 点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求 得的值. 【详解】取的中点 ，连接，设.作出

11、图像如下图所示.易得，所 以平面，所以.易得，所以平面，所以.故 平面，所以 在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取 得最小值，此时 点在点 的位置.设正方体棱长为 ，故.，所以 ，所以，故 ，故选 D. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三角形面积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力， 难度较大，属于难题本题解题关键点在于找到 点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到. 二、填空题二、填空题. . 13.若向量，且，则实数_ 【答案】 【解析】 【分析】 由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解 x 的值即可 【详解】由，得 且，得 ，解得. 故答案为： 【点睛】本题

12、考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题 14.若 ， 满足约束条件，则的最大值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为 . 【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题 目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直 线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题. 15.叶子标本模

13、型是一类常见的图形.绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形的两个顶 点 ， ，分别以 ， 为圆心，线段的长度为半径作圆，得到图（1）所示图形，再将正方形外部的圆弧 隐藏可以得到图（2）所示的叶子标本模型.若往正方形中任意投掷一点，则该点落在叶子上（图 （2）中阴影区域）的概率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，利用几何概型概率计算公式求得所求概率. 【详解】设正方形边长为 ，阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，即阴影部分 面积为，故所求概率为. 【点睛】本小题主要考查曲边图形面积的求法，考查几何概型概率计算公

14、式，属于基础题. 16.已知的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足.若，则当取得最 小值时，的外接圆的半径为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦定理求得的关系，利用余弦定理和基本不等式求得的最小值，根据正弦定理求得三角形 外接圆的半径. 【详解】由正弦定理得，由余弦定理得 ，即当时，取得最小值为 ，此时，设外接圆半径为 ， 由正弦定理得，解得. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用基本不等式求最小值，考查利用正弦定理 求外接圆的半径，考查利用同角三角函数的基本关系式求三角函数值，考查运算求解，考查化归与转化的 数学思想方法，属于中档题. 三、解答题三、解答题.

15、 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17.已知等差数列的前 项和为，且，. （）证明：是等差数列； （）设，求数列的前 项和. 【答案】 （）详见解析；（）. 【解析】 【分析】 （）设等差数列的公差为 ， ，由，得，求出，利用定 义法即可判断； （II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可. 【详解】设等差数列的公差为 ，则，解得. 所以，解得，所以. 所以.所以. 因为当时，,当时，, 故是首项为 ，公差为 的等差数列. （II）由可知，故. 故. 两式相减可得 . 故. 【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公

16、比错位相减法求数列和，考查了 学生的计算能力，属于中档题. 18.如图，在四棱锥中，. （）求证：； （）若，点 为的中点，求平面切 割三棱锥得到的上下两个几何体的体积之比. 【答案】 （）见证明（） 【解析】 【分析】 （）取的中点 ，连接，.利用等腰三角形证得，由此证得平面，从 而证得.（）取的中点 ，连接，利用线线平行得到点 ， ， ， 共面.计算出的 长，证明平面， 根据，计算出所求的体积比. 【详解】 （）取的中点 ，连接，. ，. ，. ，平面，平面，平面. 平面，. （）取的中点 ，连接，易知，故点 ， ， ， 共面. 过 作于 . 设，故，解得. 又，平面. ，. ，. 【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查四点共面的证明，考查几何体体积的计算，考查空间想象 能力，属于中档题. 19.2018 年 10 月 28 日，重庆公交车坠江