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1、柳州市柳州市 20192019 届高三毕业班届高三毕业班 3 3 月份模拟考试月份模拟考试 理科数学理科数学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意求出集合 ，再求出即可 【详解】， ， 故选 B 【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合 ，属于基础题 2.设 为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A.
2、 B. C. -1D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的乘除运算求出复数 的代数形式，然后可得复数的虚部 【详解】由题意得， 所以复数 的虚部为 1 故选 D 【点睛】解答本题容易出现的错误是认为复数的虚部为，解题的关键是得到复数的代数形式和 熟记相关的概念，属于基础题 3.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：因为所以选 C 考点：比较大小 4.在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若 在内的概率为 0.75， 则任意选取一名学生，该生成绩高于 115 的概率为（ ） A. 0.25B. 0.1C. 0.125D. 0.5 【答案】C
3、 【解析】 【分析】 根据正态曲线的对称性求解即可得到所求概率 【详解】由题意得，区间关于对称， 所以， 即该生成绩高于 115 的概率为 故选 C 【点睛】本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所给区间用已知区间表 示，并根据曲线的对称性进行求解，考查数形结合的应用，属于基础题 5.圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出已知圆的圆心关于直线的对称点的坐标，即得所求圆的圆心，再结合圆的半径不变即可求出圆 的方程 【详解】由题意得，圆方程即为， 圆心坐标为，半径为 1 设圆心关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，
4、所求圆的圆心坐标为， 所求圆的方程为 故选 D 【点睛】确定圆的条件有两个：一个是求出圆心的坐标，另一个是确定圆的半径解答本题的关键是根据 点与点关于直线的对称求出圆心的坐标，然后可得圆的标准方程 6.如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（ ） A. 6B. 5C. 4D. 3 【答案】B 【解析】 由题设当时，；当时，；当 时，；当时，运算程序结束， 输出，应选答案 B。 7.等差数列中，若，则的值是（ ） A. 4B. 5C. 6D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得，所以，所以 ，进而可得所求结果 【详解】， ， 故选 A 【点睛】本题考查等差数列中下标和性质的应用，
5、解题的关键是进行适当的变形，以得到能运用性质的形 式本题也可转化为等差数列的首项和公差后进行求解，属于基础题 8.已知菱形的边长为 2， 为的中点，则的值为（ ） A. 4B. -3C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 结合图形可得，然后根据数量积的定义求解即可 【详解】菱形的边长为 2， ， 为的中点， ， 故选 B 【点睛】本题考查向量数量积的运算，解题的关键是选择适当的基底，然后将所有向量用同一基底表示出 来，再根据定义求解，属于基础题 9.关于函数，有下列叙述： （1）其图像关于直线对称； （2）其图像可由图像上所有点的横坐标变为原来的 倍得到； （3）其图像关于点对称； （4）
6、其值域是. 则叙述正确的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 对给出的四个结论分别进行分析后可得正确结论的个数，进而得到答案 【详解】对于（1） ，在函数中，令，得，不是函数的最值，故（1）不 正确； 对于（2） ，由图像上所有点的横坐标变为原来的 倍，可得的图像， 故（2）正确； 对于（3） ，当时，可得，可得函数的图像关于点对称，故（3）错误； 对于（4） ，由题意可得函数的值域为，故（4）正确 综上可得（2） （4）正确 故选 B 【点睛】解答本题的关键是结合三角函数的有关知识对给出的结论逐一进行判断，解题时注意转化思想的 运用，如把函数图象的对
7、称轴和最值联系起来，把对称中心和函数的零点联系起来，综合考查运用知识解 决问题的能力 10.在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有 3 名教师对 4 名学生家庭问 卷调查，若这 3 名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这 4 名学生的家庭都能且只能得到一名教师 的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（ ） A. 36B. 72C. 24D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】 分为两步进行求解，即先把四名学生分为 1,1,2 三组，然后再分别对应 3 名任课老师，根据分步乘法计数 原理求解即可 【详解】根据题意，分 2 步进行分析： 先把 4 名学生分成
8、3 组，其中 1 组 2 人，其余 2 组各 1 人，有种分组方法； 将分好的 3 组对应 3 名任课教师，有种情况； 根据分步乘法计数原理可得共有种不同的问卷调查方案 故选 A 【点睛】解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数 求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础 题 11.已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点 满足恒 成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由是的边上的中线得到，于是可得，再根据， 可得，进而得到所求范围 【详解】是
9、的边上的中线， ， ，当且仅当三点共线时等号成立 又， ， ， 又， 故离心率的取值范围为 故选 C 【点睛】解答本题时注意两点：一是注意数形结合在解题中的应用，特别是由题意得到；二是根 据题意得到间的关系，再根据离心率的定义求解，属于基础题 12.如图，在正方体中，棱长为 1，点 为线段上的动点（包含线段端点） ，则下列结论 错误的是（ ） A. 当时，平面 B. 当 为中点时，四棱锥的外接球表面为 C. 的最小值为 D. 当时，平面 【答案】C 【解析】 【分析】 结合图形，对给出的四个选项分别进行分析讨论后可得错误的结论 【详解】对于 ，连结， 则， 设到平面的距离为 ，则，解得， .
10、当时， 为与平面的交点 平面平面， 平面， 平面，故 A 正确 又由以上分析可得，当时，即为三棱锥的高， 平面，所以 D 正确 对于 B，当 为中点时，四棱锥为正四棱锥， 设平面的中心为 ，四棱锥的外接球为 ， 所以，解得， 故四棱锥的外接球表面积为，所以 B 正确 对于 C，连结，则， ， 由等面积法得的最小值为， 的最小值为所以 C 不正确 故选：C. 【点睛】由于本题涉及的知识点及内容较多，所以在解题时要根据所求分别进行分析、判断，解题时注意 空间中位置关系及数量关系的灵活运用，考查运用知识综合解决问题的能力及识图、判断能力，难度较 大 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分
11、分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.若实数 、 满足约束条件，则的最大值为_ 【答案】11 【解析】 【分析】 画出不等式组表示的平面区域，由得，然后平移直线，根据 的几何意义 判断出最优解，进而可得所求最值 【详解】由约束条件作出可行域如图阴影部分所示 由，得 平移直线，由图形可得，当直线经过可行域内的点 时，直线在 轴上的截距最大，此时 取得 最大值 由，可得， 所以 故答案为：11 【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组 表示的可行域；二是弄清楚目标函数中 的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率
12、型、还是距离型，然 后再结合图形求出最优解后可得所求 14.如图，在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图都是边长为 2 的等边三角形，左视图是等腰直角三角 形，那么这个几何体的体积为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 根据三视图得到几何体的直观图，再根据直观图求出几何体的体积即可 【详解】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，高为，底面为边长为 2 的正三角形， 因此几何体的体积为 故答案为：1 【点睛】在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑热悉常 见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键求解几何体的表面积或体积时要结合题 中的数据及几何体的
13、形状进行求解 15.已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为 _ 【答案】4 【解析】 【分析】 由可得，然后由 可得所 求最小值 【详解】由得， 又， ，解得 ， ， ， ，当且仅当时等号 成立 故答案为：4 【点睛】运用基本不等式求最值时，要注意使用的条件，即“一正、二定、三相等” ，且三个条件缺一不 可当条件不满足时，需要利用“拆” 、 “凑”等方法进行适当的变形，使之满足能使用不等式的形式考 查知识间的综合运用，属于基础题 16.已知函数与的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 将问题转化为方程，即在上有解求解，然后根据导数
14、的几何意义 并结合两函数的图象的相对位置可得所求范围 【详解】函数与的图像上存在关于原点对称的对称点， 方程，即在上有解， 方程在有解 设，且为的切线， 设切点为， 由得， 则有，解得 由图象可得，要使直线和的图象有公共点， 则，解得 所以实数 的取值范围是 故答案为： 【点睛】解得本题的关键有两个：一是将两函数图象上有对称点的问题转化为方程有解的问题处理；二是 解题时要利用数形结合的方法，以提高解题的直观性考查导数几何意义及变换思想的运用，具有综合性 和难度 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第
15、第 17172121 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：（一）必考题：6060 分分 17.在中，角所对的边分别为，且. （1）求角 ； （2）若，的中线，求的面积. 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由余弦定理及条件可得，变形后得到，于是 ， （2）由的中线可得，两边平方后得到，又根据 余弦定理得，于是，所以可得三角形的面积 【详解】 （1） . . ， 又在中， ， 又， （2）由可得：， 即， 又由余弦定理， 由两式得， 的面
16、积 【点睛】本题考查正余弦定理在三角形中的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的 变形，逐步达到求解的目的，属于基础题 18.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表 （假设该区域空气质量指数不会超过 300）： 空气质量指 数 空气质量等 级 1 级优2 级良3 级轻度污染4 级中度污染5 级重度污染6 级严重污染 该社团将该校区在 2018 年 11 月中 10 天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下 图，把该直方图所得频率估计为概率. （1）以这 10 天的空气质量指数监测数据作为估计 2018 年 11
