四川省雅安中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题（精品解析）

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1、雅安中学雅安中学 2018-20192018-2019 学年下期第一次月考试高中一年级学年下期第一次月考试高中一年级 数学试题卷数学试题卷 第第卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的 1.以下四组向量能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面内两不共线的向量可作为基底，对选项中的向量逐一判断即可. 【详解】对于 ，与共线，不

2、能作为基底； 对于 ，与不共线，能作为基底； 对于 ，与共线，不能作为基底； 对于 ，与共线，不能作为基底，故选 B. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 2.如图所示，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相等向量的定义，对选项中的向量逐一判断即可. 【详解】与向量，方向不同， 与向量不相等， 而向量与方向相同，长度相等， ，故选 D. 【点睛】本题主要考查相等向量的定义，属于简单题.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等 向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相

3、同时，才能称它们相等. 3.已知向量，向量，且,则( ) A. 9B. 6C. 5D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两个向量平行的充要条件，得到关于 的方程，解方程即可得到 的值. 【详解】因为向量,向量且， 根据问量共线的充要条件得，故选 B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用解答. 4.已知中，内角所对的边分别为，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用正弦定理求解即可. 【详解】， 为锐角， 由正弦定理可得， 所以，故选 A. 【点睛】本题主要考查正弦定理在

4、解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常 见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角） ； （2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外 接圆半径. 5.已知中，内角所对的边分别为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理可得， ， ，故选 C. 【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式： （1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解 与三

5、角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应 用. 6.关于 有以下说法，不正确的是（ ） A. 的方向是任意的B. 与任一向量共线，所以 C. 对于任意的非零向量 ，都有D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用零向量的定义以及向量的线性运算法则，对选项中的命题逐一判断即可. 【详解】由零向量的定义可得零向量的方向是任意的， 正确； 根据规定，零向量与任何向量平行，可得 正确； 因为，所以 不正确； 因为,所以 正确， 故选 C. 【点睛】本题主要考查零向量的定义与性质，以及向量运算的三角形法则，意在考查对基础知识掌握的熟 练程度，属于基础题. 7.一角

6、槽的横断面如图所示，四边形是矩形，且，则的 长等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出，利用余弦定理求解即可. 【详解】四边形是矩形，且， ， ， 由余弦定理可得， ， ，故选 A. 【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式： （1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解 与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应 用. 8.已知非零向量满足且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形 【答案】D 【解析

7、】 【分析】 根据，判断出的角平分线与垂直,进而推断三角形为等腰三角形，再根据向量的夹 角公式求得角，判断出三角形的形状. 【详解】分别为单位向量， 的角平分线与垂直， ， ， ， ， 所以，为等边三角形，故选 D. 【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式主要应用以 下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上 的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）. 9.若向量 与 不共线，且，则向量 与 的夹角为（ ） A. 内的任意一角B. 0C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用平面向

8、量数量积的运算法则，求得，即得其夹角为 . 【详解】， ， 与 夹角为 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量 积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 10.若的周长等于 20，面积是，则边的长是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 利用面积公式得到的值，结合周长为，再根据余弦定理列出关于 的方程，求出 的值即为的值. 【详解】因为面积公式， 所以，得， 又周长为，故， 由余弦定理得， ， 故，解得，故选 C. 【点睛】考查主要考查余弦定理，以及会用三角形的面积公式的应用，属于中档

9、题. 对余弦定理一定要熟 记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条 件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在 解题中直接应用. 11.在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上，为测量该塔的 高度，测量人员在公路上选择了两个观测点，在 处测得该塔底部 在西偏北 的方向上；在 处测得该 塔底部 在西偏北 的方向上，并测得塔顶 的仰角为 .已知，则此塔的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 在中，利用正弦定理求出，再由直角三角形的性质求出即可. 【详解】 画出示意图，图中

10、的外角为 ， 在中， ， ， ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的实际应用，考查了建立数学模型解决实际问题的能力.属于中档题. 正弦定理常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与 锐角） ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化. 12.在中，则的形状是（ ） A. 等腰非直角三角形B. 等腰直角三角形 C. 直角非等腰三角形D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理可得，化为， 由，进而可得结果. 【详解】, 化为， 由正弦定理可得， ， ， ， ， 是直角三角形，不是等腰三角形

11、，故选 C. 【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三 角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边 之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 9090 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，将答案书写在答题卡对应题号的横分，将答案书写在答题卡对应题号的横 线上线上 13.已知向量与向量同向的单位向量的坐标为_ 【答案】 【解析】 【分

12、析】 由已知可求，进而可求，而与同向的单位向量为，再利用坐标表示即可. 【详解】， ， ， 与同向的单位向量坐标表示， 故答案为. 【点睛】本题主要考查了向量运算的坐标表示，向量模的坐标表示，意在考查综合应用所学知识解答问题 的能力，属于基础题. 14.若向量的夹角为，则_ 【答案】6 【解析】 【分析】 由，夹角为，求出的值，再由平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】因为向量的夹角为， 所以 则，故答案为 6. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，属于基础题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数 量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 15.中，角所对的边分别为，则

13、_. 【答案】 【解析】 【分析】 由，利用正弦定理与同角三角函数的平方关系可得 ，化简得，再利用正弦定理可得结果 . 【详解】中， 根据正弦定理，得， 可得， ， ， 由正弦定理可得，可得，故答案为. 【点睛】本题着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识,属于基础题. 正弦定理是解三角形 的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论 钝角与锐角） ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化； （4）求三角形外接圆半径. 16.以下说法正确的是_ （填写所有正确的序号） 若两非零向量，若，则的夹角为锐角

14、； 若，则，反之也对； 在中，若，则，反之也对； 在锐角中，若，则 【答案】 【解析】 【分析】 由 与 同向时夹角不是锐角，判断；由时， 与 平行，判断；由正弦定理得判断；根据锐 角三角形三个内角都是锐角判断. 【详解】对于， 与 同向时，若，夹角为，不是锐角，故错误； 对于，若时，则， 与 平行，故错误； 对于，由正弦定理得，,故正确； 对于，由，可得，即，故正确， 故答案为. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查向量的夹角与向量的位置关系以及正弦定理，属于难 题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输” ，因此做这类题目更要细

15、心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌 握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应 写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知 （1）求； （2）若，求 . 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）直接利用平面向量线性运算的坐标表示求解即可；（2）先求出的坐标形式，根据 ，利用平面向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】 （1）

16、， . （2）， ， 即 ， 得. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 利用向量的位置关系 求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂 直，利用解答. 18.已知中，内角所对的边分别为. （1）若，求角 ； （2）若，求 【答案】 （1）或；（2）. 【解析】 【分析】 （1）直接利用正弦定理求解即可；（2）由，利用正弦定理可得,设 ，利用余弦定理可得结果. 【详解】 （1）， 由正弦定理可得， ， ，, 或. （2）， , 设， 由余弦定理可得， . 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，正弦定理边角互化的应用以及余弦定理解三角形，意在考查对 基本定理掌握的熟练程度与灵活应用，属于中档题. 19.在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求外接圆的面积 ； （2）若，求的面积. 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理可