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1、专题26 圆的解题方法一【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.二方法规律总结1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给出了
2、圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.2.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.5.求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：(1)几何方法：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切
3、线方程即可求出.(2)代数方法：设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出.(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得). 6.求直线被圆截得的弦长(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|2.(2)代数方法：运用韦达定理.弦长|AB|.7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题.三【典例分析及训练】例1圆 ：与轴正半轴交点为，
4、圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意知，设的坐标为,则, ,因为，所以，即，又，联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.故答案为B.练习1已知圆上的动点和定点，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】如图，取点，连接，因为,当且仅当三点共线时等号成立,的最小值为的长，故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准
5、突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.练习2已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，令解得，由于，可知当时，递增，时，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，当时，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.练习3直线l是圆C1：（x+1）2+y2=1与圆C2：（x+4）2+y2=4的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y
6、轴正半轴相交于A，B两点，则AOB的面积为A B C D【答案】A【解析】如图，设OA=a，OB=b，由三角形相似可得：，得a=2再由三角形相似可得：，解得b=AOB的面积为故选A（二）圆的一般方程例2若由方程x2y20和x2(yb)22所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是()Ab2或b2 Bb2或b2 C2b2 D2b2【答案】B【解析】因为方程x2y20和x2(yb)22分别表示直线和圆所以方程x2y20和x2(yb)22所组成的方程组至多有两组不同的实数解可转化为直线与圆至多有两个交点，当圆x2(yb)22与两条直线都相切时，根据圆心到直线的距离等半径可得，即 或时
7、，圆与直线有两个交点，当圆与直线相离时无交点，此时或，综上可知 b2或b2，故选B.练习1若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.练习2若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为Aa=1或a=2 Ba=2或a=1 Ca=1 Da=2【答案】C【解析】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=1故答案为：C（三）点与圆的位置关系例3例3过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范
8、围是A B C D【答案】B【解析】直线，即，由，求得，直线经过定点由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，可得圆心为PQ的中点，半径为，则与M的最大值为，则与M的最小值为，故MN的范围为：，故选：B练习1.已知点，是圆内一点，直线，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（ ）A B C D【答案】A【解析】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.练习2设点M（3，4）在圆外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A B C D【答案】C【解析】如图， 要使圆O：x2+y2r2（r0）上存在点N，使得OMN ，则OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得OMN，
9、而当MN与圆相切时OMN取得最大值，此时OM5，ON，又点M（3，4）在圆x2+y2r2（r0）外，实数r的取值范围是 故选：C（四）圆的几何性质例4如图，在平面直角坐标系内，已知点，圆C的方程为，点P为圆上的动点求过点A的圆C的切线方程求的最大值及此时对应的点P的坐标【答案】（1）或；（2）最大值为，.【解析】当k存在时，设过点A切线的方程为，圆心坐标为，半径，解得，所求的切线方程为，当k不存在时方程也满足；综上所述，所求的直线方程为：或； 设点，则由两点之间的距离公式知，要取得最大值只要使最大即可，又P为圆上的点，此时直线OC：，由，解得舍去或，点P的坐标为练习1已知圆心在x轴正半轴上的圆
10、C与直线相切，与y轴交于M，N两点，且求圆C的标准方程；过点的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，满足题意.【解析】由题意知圆心，且，由知中，则，于是可设圆C的方程为又点C到直线的距离为，所以或舍，故圆C的方程为，设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，故，解得，又当时满足题意，因此所求的直线方程为或，方法一：假设在x轴上存在两定点，设是圆C上任意一点，则即，则，令，解得或，因此存在，或，满足题意，
11、方法二：设是圆C上任意一点，由得，化简可得，对照圆C的标准方程即，可得，解得解得或，因此存在，或，满足题意练习2设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为A B C D【答案】C【解析】根据题意，函数y，即（x1）2+y24，（y0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下半部分，又由点Q（2a，a3），则Q在直线x2y60上，当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x2y60垂直，此时有2，解可得a1，圆C1：（xm）2+（y+2）24与圆C2：（x+n）2+（y+2）29相外切，则有3+25，变形可得：（m+n）225，则mn，故选：C练习3已知，
12、是单位向量，0若向量满足|1，则|的最大值为（）A B C D【答案】C【解析】|1，且，可设，即（x1）2+（y1）21的最大值故选：C练习4设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A B C D【答案】C【解析】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则， 即， 当 时，故的最大值为.故选C.（五）轨迹问题例5.已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出GOH面积的最大值.（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运
13、动，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有 又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为： （2）令，则当，即时面积最大为2 又直线过点，到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令故直线的方程为： （3）设点，由于点则，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以练习1已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O为坐标原点）【答案】（1）；（2）圆的面积最小值（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有 又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为： （2）由题意知，原心到直线的距离当即当时，弦长最短，此时圆的面积最小，圆的半径，面积 又，所以直线斜率，又过点故直线的方程为： （3）设点，由于点法一：所以，令 有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以 法二：从而练习2四棱锥P-ABCD中，AD面PAB，BC面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，APD=CPB，满足上述条件的四棱
