《2019数学新设计北师大选修2-1课件：第二章 空间向量与立体几何 2习题课 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019数学新设计北师大选修2-1课件：第二章 空间向量与立体几何 2习题课 （39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课空间向量在空间问题中的综合应用,1.利用空间向量求两点间距离 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点,2.利用空间向量解决探索性问题 立体几何探索性问题是近几年高考和各地模拟考试中的热点题型.空间向量作为一种工具,在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性,运用空间向量法解题,可使几何问题代数化,大大简化思维程序,使解题思路直观明了. 空间中的探索性问题一般有以下两种类型: (1)“条件探索型”,就是指给出了问题的明确结论,但条件不足或未知,需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题,这类问题的常用解法是逆推法,利用结论探求条件. (2)“存在型”,是指结论
2、不确定的问题,即在数学命题中,结论常以“是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来;可能不存在,则需要说明理由.解答这一类问题时,先假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推证出矛盾,则结论不存在.,【做一做1】 已知空间两点A,B的坐标分别为(1,-1,1),(2,2,-2),则A,B两点的距离为 .,【做一做2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论错误的是( ) A.BD平面CB1D1 B.AC1BD C.AC1平面CB1D1,解析:以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C
3、(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).,答案:D,【做一做3】 如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记 =,则当APC为钝角时,实数的取值范围是 .,解析:由题意,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),探究一,探究二,规范解答,利用空间向量求空间中两点间距离 【例1】 如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求点B,D间的距离. 思维点拨:本题可利用
4、向量法求解,两种思路,一种是用基向量表示,另一种用坐标表示.,探究一,探究二,规范解答,解:(方法一)过点D和B分别作DEAC于E,BFAC于F. 则由已知条件可知AC=5,探究一,探究二,规范解答,(方法二)过点D作DEAC于点E,过点B作BFAC于点F,过点E作FB的平行线EP,以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.,探究一,探究二,规范解答,反思感悟利用空间向量求空间两点距离的基本方法 (1)坐标法:建立空间直角坐标系,得出两个点的坐标,然后根据两点距离公式求解. (2)向量分解法:将两点所对应向量用基向量表示,然后利用公式|a|=
5、求解.,探究一,探究二,规范解答,变式训练1 如图,60的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在两个半平面内,且都垂直于AB.若|AB|=1,|AC|=2,|BD|=3,求CD的长度. 分析:本题中的图形不适合建立空间直角坐标系,因此可通过向量分解的方法,利用公式|a|= 求解.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,利用空间向量解决空间中的探索性问题 【例2】在四棱锥P-ABCD中,ABCD是菱形,ABC=60,PA=AC=a,PB=PD= a,点E在PD上,且PEED=21.在PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?并证明你的结论. 思维点拨:首先假设存在,然后再根据
6、BF平面AEC,结合线面平行的条件进行推理.,探究一,探究二,规范解答,解:PA=AC=a,ABC=60,AB=AD=a. 又PB=PD= a,PAAB,PAAD,PA平面ABCD.如图,以A为坐标原点,AD,AP所在直线分别为y轴、z轴,过点A垂直于平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,反思感悟解决这类探索性问题的基本策略是:假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.,探究一,探究二,规范解答,变式训
7、练2如图,在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,AF=AB=BC=FE= AD. (1)求异面直线BF与DE所成角的余弦值. (2)在线段CE上是否存在点M,使得直线AM与平面CDE所成角的正弦值为 ?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.,探究一,探究二,规范解答,解:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=1,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,3,0),F(0,0,1),E(0,1,1).,探究一,探究二,规范解答,(2)设平面CDE的法向量为n=(x,y,z),探究一,探究二,规范解答,利用空间向量解决空间的综合问题 【典例】如图,直棱
8、柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB= AB. (1)证明:BC1平面A1CD. (2)求平面A1CD与平面A1CE的夹角的正弦值. 审题策略第一问可借助线面平行的判定定理证明;第二问应建立直角坐标系,利用向量方法进行求解.,探究一,探究二,规范解答,【规范展示】 (1)连接AC1,交A1C于点F,连接DF, 则F为AC1的中点. 又因为D是AB的中点,所以DFBC1. 又因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD, 故BC1平面A1CD.,所以ACBC. 又因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,故可建立如图所示的空间直角坐标系.,探究一,探究二,规范解答,
9、探究一,探究二,规范解答,答题模板 第1步:证明线线平行 第2步:证得线面平行 第3步:建立空间直角坐标系 第4步:设点,求出向量坐标 第5步:用待定系数法求法向量坐标 第6步:利用向量的夹角公式求两个法向量的夹角的余弦值,进而求得正弦值.,探究一,探究二,规范解答,失误警示通过阅卷统计分析,失分主要出现在第(2)问,造成失分的原因是: (1)不能利用三角形中的边长关系找到垂直的条件,从而不能恰当地建立空间直角坐标系. (2)不能利用中点公式正确地求出相关点的坐标. (3)待定系数法求法向量的方法与步骤不熟练,导致法向量坐标求错. (4)不能利用三角函数的知识把向量夹角的余弦值转化为两平面夹角
10、的正弦值.,探究一,探究二,规范解答,变式训练如图,在多面体ABCDEF中,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,ABCD,ADCD,AB=AD=1,CD=2,M,N分别为EC和BD的中点. (1)求证:BC平面BDE; (2)求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值. (1)证明:在梯形ABCD中,取CD中点H,连接BH, 因为AD=AB,ABCD,ADCD, 所以四边形ADHB为正方形. 又BD2=AD2+AB2=2,BC2=HC2+HB2=2, 所以CD2=BD2+BC2,所以BCBD. 又平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,DEAD,所以DE平面ABCD,
11、所以BCDE.又BDDE=D,故BC平面BDE.,探究一,探究二,规范解答,(2)解:由(1)知CD平面ABCD,ADCD, 所以DE,DA,DC两两垂直. 以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D-xyz,1 2 3 4 5,1.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,M是面ABC内一点,且M到其他三面的距离分别是2,3,6,则M到顶点P的距离是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析:以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由已知M(2,3,6),所以|MP|= =7. 答案:A,1 2 3 4 5,2.在如图所示的几何体中,三棱锥D-AB
12、C的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,则下列说法正确的是( ) A.OA,OB,OC的长度可以不相等 B.直线OB平面ACD C.直线OD与BC所成的角是45 D.直线AD与OB所成的角是45,1 2 3 4 5,解析:三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,所以OA=OB=OC= ,排除A;如图,建立空间直角坐标系.,答案:D,1 2 3 4 5,3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE平面B1DE,则AE= .,1 2 3 4 5,解析:建立如图所示的空
13、间直角坐标系,解得z=a或z=2a,即AE=a或AE=2a.,答案:a或2a,1 2 3 4 5,4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1. 求证:(1)AD1平面BDC1; (2)A1C平面BDC1. 证明:以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz. 设正方体的棱长为1, 则有D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),令x=1,则n=(1,-1,1).,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,5.导学号90074049如图,在几何体ABCDE中,正方形ABCD的边长为2,AE平面CDE,AE=1. (1)求证:平面ABCD平面ADE; (2)设点F是棱BC上一点,若平面ADE与平面DEF的夹角的余弦值为,解:(1)AE平面CDE,AECD. 又ADCD,AEAD=A,CD平面ADE. 又CD平面ABCD,平面ABCD平面ADE.,1 2 3 4 5,(2)AE平面CDE,由(1),知CDDE,以D为坐标原点,DE,DC所在的直线分别为x轴、y轴,以过点D且垂直于平面CDE的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,n=(0,-2)为平面FDE的一个法向量. 又平面ADE的一个法向量为m=(0,1,0),1 2 3 4 5,
