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1、3 全称量词与存在量词,一,二,思考辨析,一、量词与命题 1.全称量词、全称命题,2.存在量词、特称命题,一,二,思考辨析,名师点拨1.从集合的观点看,全称命题是陈述某集合所有元素都具有某种性质的集合,而特称命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. 2.全称命题含有全称量词,有些全称命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”. 3.含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是特称命题.,一,二,思考辨析,【做一做1】 下列语句不
2、是全称命题的是( ) A.任何一个实数乘以零都等于零 B.自然数都是正整数 C.高二(一)班绝大多数同学是团员 D.每一个向量都有大小 解析:判断命题是否为全称命题,关键是看命题中的量词是否体现“所有的”“任意一个”等含义,含有全称量词的命题为全称命题.其中A,B,D选项的量词“任何一个”“都”“每一个”均是全称量词,故为全称命题,对于选项C中的量词“绝大多数”属于存在量词,故不是全称命题. 答案:C,一,二,思考辨析,【做一做2】 下列命题中,是真命题的是( ) A.存在xR,sin x+cos x=1.5 B.任意x(0,),sin xcos x C.存在xR,x2+x=-1 D.任意x(
3、0,+),ex1+x,解析:sin x+cos x= 1+x. 答案:D,一,二,思考辨析,二、含有一个量词的命题的否定,名师点拨1.要否定全称命题“对任意xM,p(x)成立”,只需在M中找到一个x0,使得p(x0)不成立,即“存在x0M,使p(x0)不成立”. 2.要否定特称命题“存在xM,p(x)成立”,需要验证对M中的每一个x,均有p(x)不成立,即“对任意的xM,p(x)不成立”. 3.写省略量词的全称命题或特称命题的否定时,要先补回量词再否定.,一,二,思考辨析,【做一做3】 命题“存在实数x,使x1”的否定是( ) A.对任意实数x,都有x1 B.不存在实数x,使x1 C.对任意实
4、数x,都有x1 D.存在实数x,使x1 答案:C 【做一做4】 已知命题p:对任意实数x2,总有x2-80,那么p的否定为 . 答案:存在实数x2,使得x2-80,一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)全称命题中一定含有全称量词. ( ) (2)同一个特称命题的表达形式不是唯一的. ( ) (3)全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是全称命题. ( ) (4)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的. ( ) (5)全称命题与其否定的真假可以相同. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,全称命题与特称命题的判断 【例1】 判
5、断下列命题是全称命题还是特称命题: (1)对数函数都是单调函数; (2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除; (3)任给xx|x是有理数,x2是有理数; (4)存在xZ,logax0; (5)负数的平方是正数; (6)有的实数是无限不循环小数; (7)有些三角形不是直角三角形; (8)凡是三角形,都有内切圆; (9)任给x,yR,x2+y2+2x+2y1; (10)若a=b,则a2=b2.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,思维点拨:判断一个命题是全称命题还是特称命题,关键有两点:一是是否具有两类命题所要求的量词或形式;二是根据命题的含义判断指的是全体,还是全体中的个别元素. 解:(
6、1)中含有全称量词“都”,所以是全称命题; (2)中含有存在量词“至少有一个”,所以是特称命题; (3)中含有全称量词“任给”,所以是全称命题; (4)中含有存在量词“存在”,所以是特称命题; (5)中从命题的叙述中看出,省略了全称量词“都”或“所有”,因而是全称命题; (6)中含有存在量词“有的”,所以是特称命题; (7)中含有存在量词“有些”,所以是特称命题; (8)中含有全称量词“凡是”,所以是全称命题;,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(9)中含有全称量词“任给”,所以是全称命题; (10)是一个“若p,则q”形式的命题,不含量词,所以它既不是全称命题,也不是特称命题. 反思感悟判断
7、一个语句是全称命题还是特称命题的步骤 1.首先判定语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或特称命题. 2.若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题. 3.当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质. 4.一个全称命题(或特称命题)往往有多种不同的表述方法,有时可能会省略全称量词(或存在量词),应结合具体问题多加体会.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1下列命题: (1)至少有一个x,使x2+2x+1=0成立; (2)对任意的x,都有x2+2x+1=0成立; (3)对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立; (4)存在x,使
8、x2+2x+1=0成立. 其中是全称命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:(2)(3)含有全称量词,故(2)(3)是全称命题. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,全称命题与特称命题的真假判断 【例2】判断下列命题是全称命题,还是特称命题,并判断其真假. (1)对任意xN,2x+1是奇数; (2)每一个平行四边形的对角线都互相平分;,(4)存在一组m,n的值,使m-n=1; (5)至少有一个集合A,满足A1,2,3.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)是全称命题.因为对任意xN,2x+1都是奇数,所以全称命题:“对任意xN,2x+1是奇数”是真命题. (2
9、)是全称命题.由平行四边形的性质可知此命题是真命题. (3)是特称命题.不存在xR,使 =0成立,所以该命题是假命题. (4)是特称命题.当m=4,n=3时,m-n=1成立,所以该命题是真命题. (5)是特称命题.存在A=3,使A1,2,3成立,所以该命题是真命题. 反思感悟全称命题、特称命题的真假判断:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假. (1)不相交的两条直线是平行线; (2)存在正实数x,y,使x2+y2=0. 解:(1)全称命题,不相交的两条直线也可能是异面直线,因此,命题是假命题. (2)特称命题,要使x2+y2=0成立,只
10、有x=y=0,而0不是正实数,因而不存在正实数x,y,使x2+y2=0,因此,命题是假命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,含有一个量词的命题的否定 【例3】 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:对任意xR,x2-x+ 0; (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:存在xR,使x2+2x+20; (4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0. 思维点拨:首先弄清楚是全称命题还是特称命题,然后再针对不同的形式加以否定.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)至少存在一个正方形不是矩形.假命题. (3)对任意xR,x2+2x+20.真命题.这是由于对任意xR,x2+2x+2=(x
11、+1)2+110成立. (4)对任意xR,x3+10.假命题. 这是由于当x=-1时,x3+1=0. 反思感悟在书写全称命题与特称命题的否定时,一定要抓住决定命题性质的量词,从对量词的否定入手,书写命题的否定.由于全称量词的否定是存在量词,而存在量词的否定又是全称量词,因此,全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是全称命题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3(1)命题“对任意x0,x2+x0”的否定是( ) A.存在x0,使x2+x0 B.存在x0,使x2+x0 C.对任意x0,x2+x0 D.对任意x0,x2+x0 (2)命题“存在xZ,使x2+2x+m0”的否定是(
12、) A.“存在xZ,使x2+2x+m0” B.“不存在xZ,使x2+2x+m0” C.“对于任意xZ,都有x2+2x+m0” D.“对于任意xZ,都有x2+2x+m0” 答案:(1)B (2)D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因对含有一个量词的命题的否定意义理解不透彻而致误 【典例】 写出下列命题的否定. (1)矩形有一个外接圆; (2)对数函数都是单调函数. 易错分析:上述两个命题都是省略全称量词的全称命题,在写其否定形式时,往往忽略量词的改写,只对结论进行否定. 正解:(1)由于省略了全称量词“所有的”,其原命题为“所有的矩形都有一个外接圆”,故原命题的否定为:存在一个矩形没有外接圆;
13、(2)由于隐含了量词“任意的”,其原命题为“任意的对数函数都是单调函数”,故原命题的否定为:存在一个对数函数不是单调函数. 纠错心得对于隐含了量词的命题的否定,先补全再进行否定.要注意对其进行改写进而找出量词,(1)中隐含了全称量词“所有的”,(2)中隐含了全称量词“任意的”,因此需要对其进行改写.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知命题:可以被5整除的数,末位是0,则其否定是 . 解析:省略了全称量词“任何一个”,该命题的否定为:有些可以被5整除的数,末位不是0. 答案:有些可以被5整除的数,末位不是0,1 2 3 4 5,1.下列命题是特称命题的是( ) A.三角函数都是周期函
14、数 B.任意的a0,函数y=logax是增函数 C.偶函数的图像关于y轴对称 D.存在实数不小于3 答案:D,1 2 3 4 5,2.判断下列全称命题的真假,其中真命题为( ) A.所有奇数都是素数 B.任给xR,x2+11 C.对每个无理数x,x2是有理数 D.每个函数都有反函数 答案:B,1 2 3 4 5,3.下列说法中,正确的个数是( ) 存在一个实数x,使-2x2+x-4=0; 所有的质数都是奇数; 在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行; 至少存在一个正整数,能被5和7整除. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:对于,0,方程无解,故错; 对于,2为质数,但2不是奇数,故错; 正确,故正确个数为2个. 答案:B,1 2 3 4 5,4.命题“对任意a,bR,|a+1|+|b-1|0”的否定是 . 答案:存在a,bR,使|a+1|+|b-1|0,1 2 3 4 5,5.已知命题p:“对任意aR,x2-2xa2+2a+9”,若命题p的否定为假命题,则实数x的取值范围是 . 解析:命题p的否定为假命题,命题p是真命题. 对任意aR,a2+2a+9=(a+1)2+88, x2-2x8.解得-2x4, 即x的取值范围是-2,4. 答案:-2,4,
