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1、7 正切函数,7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质,一,二,三,四,一、正切函数,2.正切函数与正弦函数、余弦函数的关系,一,二,三,四,3.三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数. 4.正切值在各象限中的符号 由正切函数的定义知:当角 的终边在第一和第三象限时,正切值为正;当角的终边在第二和第四象限时,正切值为负.,【做一做2】 若角的终边上有一点P(2,x),且tan =-3,则x的值等于( ),答案:D,一,二,三,四,二、正切线 如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意角的终边
2、与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角位于第一和第三象限时,点T位于x轴的上方;当角位于第二和第四象限时,点T位于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角的终边在第几象限,都有AOT与MOP的正切值相等.我们称线段AT 为角的正切线.,一,二,三,四,一,二,三,四,【做一做3】 已知角的正切线是单位长度的有向线段,则角的终边( ) A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=x或y=-x上 解析:由题意可知tan =1,所以角的终边在直线y=x或y=-x上.故选D. 答案:D,一,二,三,
3、四,三、正切函数的图像,一,二,三,四,【做一做4】 画出函数y=|tan x|的图像.,解:由y=|tan x|得,其图像如图:,一,二,三,四,四、正切函数的性质,一,二,三,四,答案:D,一,二,三,四,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)正切函数在定义域上是增函数. ( ) (2)正切曲线的对称中心是 (kZ). ( ) (3)函数y=tan(-x)是奇函数. ( ) (4)正切曲线相邻两个与x轴的交点间的距离恰好为该函数的周期. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,易错辨析,正切函数的定义及其应用 【例1
4、】 求下列函数的定义域和值域:,思路分析:根据正切函数的定义域和值域并结合正切函数的图像求解.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟求正切函数定义域的方法及注意点: 求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x +k,kZ.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图像求解. 解形如tan xa的不等式的步骤:,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,正切函数的图像及其应用 【例2】 解不等式tan x-1. 思路分析:作出正切函数一个周期的图像由图像得一个周期的x的
5、取值范围扩展到整个定义域得解集,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:作出y=tan x一个周期的图像,如图所示.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟解决此类问题,一般根据函数的图像利用数形结合直接写出自变量的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数的最小正周期为.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,正切型函数y=Atan(x+)(A0,0)的性质,思路分析:由y=tan x的性质,利用整体代换的方法求解.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟 正切型函数的性质的求解方法 函数y=Atan(x+)的性质可通
6、过以下方法求解: (1)定义域:将(x+)视为一个整体,令x+k+ (kZ),解得x. (2)值域:R.,(5)单调性:将(x+)视为一个整体,若0,使x的系数为正值,然后求单调区间.A0(A0)的单调性与y=tan x,xR,x +k(kZ)的单调性相同(反),解不等式可得出单调区间.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,因误认为正切函数在整个定义域上都是增函数而出错,探究一,探究二,探究三,易错辨析,纠错心得1.在应用函数的单调性解题时,要弄清是在整个定义域上是单调的,还是在每个区间上是单调的,否则会出现错误.,1,2,3,4,5,6,答案:B,1,2,3,
7、4,5,6,2.下列命题中正确的是( ) A.y=tan x在整个定义域上是增函数 B.y=tan 2x的周期为 C.当x0时,tan x0,答案:D,1,2,3,4,5,6,3.若tan cos 0,则在( ) A.第一或第二象限 B.第一或第三象限 C.第一或第四象限 D.第二或第四象限 解析:当tan 0,cos 0时,在第一象限;当tan 0,cos 0时,在第二象限,故在第一或第二象限. 答案:A,1,2,3,4,5,6,答案:B,1,2,3,4,5,6,A.-1,1 B.(-,-11,+) C.(-,1 D.-1,+),故选A. 答案:A,1,2,3,4,5,6,6.求函数y=2tan 3x的定义域及单调区间.,
