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1、第2课时 类比推理,1.类比推理,名师点拨类比推理与归纳推理的比较,【做一做1】 “鲁班发明锯子”的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.该过程体现了( ) A.归纳推理 B.类比推理 C.没有推理 D.以上说法都不对 解析:推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,上述过程是推理,由性质类比可知是类比推理. 答案:B,2.合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理
2、是指“合乎情理”的推理. 【做一做2】 下列说法正确的是( ) A.合情推理的结论一定正确 B.合情推理的结论一定不正确 C.归纳推理和类比推理都属于合情推理 D.合情推理是由一般到特殊的推理 答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)类比推理是由一般到特殊的推理. ( ) (2)由直线与圆相切时,圆心与切点的连线和直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切点连线与平面垂直,这是运用了类比推理. ( ) (3)类比推理得到的结论可以作为定理使用. ( ) (4)合情推理在数学证明和数学发现中具有重要作用. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4
3、),探究一,探究二,探究三,思维辨析,平面与空间的类比,思路分析:由平面向空间类比推广时,等边三角形与正四面体是类比对象,BC的中点与BCD的重心是类比对象,外接圆与外接球是类比对象.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟平面与空间的类比是最常见的一种类比,一般地,进行平面与空间的类比时,常见的对象如下:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,等差数列与等比数列的类比 【例2】 在等差数列an中,如果m,n,p,rN*,且m+n+p=3r,那么必有am+an+ap=3ar,类比该结论,写出在等比数列bn中类似的结论,并用数列
4、知识加以证明. 思路分析:从等差数列与等比数列的定义与性质出发,寻找两种数列的联系点进行类比.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.等差数列与等比数列是一对重要的类比对象,二者在很多方面可以进行类比,例如:等差数列中项的加、减、倍数运算与等比数列中的乘、除、开方运算相对应. 2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到可以进行类比的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结合相关的知识进行证明,以确保类比结果的合理性.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2设等差数列an的前n项和为Sn,若存在正整数m,n(mn),使得Sm=Sn,则Sm+n=0,类比上述结
5、论,设正项等比数列bn的前n项积为Tn,若存在正整数m,n(mn),使得Tm=Tn,则Tm+n= . 解析:在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时,加减运算类比推理到乘除运算,累加类比推理到累乘,故若正项等比数列bn的前n项积为Tn,若存在正整数m,n(mn),使得Tm=Tn,则Tm+n=1. 答案:1,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解题方法的类比 【例3】 我们知道: 12=1, 22=(1+1)2=12+21+1, 32=(2+1)2=22+22+1, 42=(3+1)2=32+23+1, n2=(n-1)2+2(n-1)+1, 将以上各式的左右两边分别相加,整理得n2=
6、21+2+3+(n-1)+n, 所以1+2+3+(n-1)= . 类比上述推理方法写出求12+22+32+n2的表达式的过程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,思路分析:这是解题方法上的类比问题,分析已经给出的问题的解题方法与步骤可知,应将13,23,33,n3等进行改写,然后两边相加,通过变形整理得出结论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:已知: 13=1, 23=(1+1)3=13+312+31+1, 33=(2+1)3=23+322+32+1, 43=(3+1)3=33+332+33+1, n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1, 将以上各式的左右两边分别相加,得
7、(13+23+n3)=13+23+(n-1)3+312+22+(n-1)2 +31+2+(n-1)+n, 整理得n3=3(12+22+n2)-3n2+31+2+(n-1)+n,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟借助类比推理可以推测未知,可以发现新结论,可以探索和提供解决问题的思路和方法,这是类比推理的重要作用,因此在解决一个未知的问题时,如果能够发现未知问题与已知问题的相似之处,它们之间具有可类比性,就可以根据已知问题的求解方法类比解决未知问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,盲目类比致误 【典例】 平面几何中有结
8、论:若一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等或互补.类比这一结论,在立体几何中,若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角( ) A.互补 B.相等 C.互补或相等 D.大小关系不定 错解分析:本题的错误在于盲目将空间问题与平面问题类比,不注意结合实际问题进行分析. 解析:如右图所示,当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时,这两个二面角没有任何大小关系,故选D. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得类比推理虽然是一种很好、很重要的推理,利用类比推理可以获得一些重要结论,但它的结论不一定是正确的,因此为了使这种推
9、理更严谨、更完美,我们还要注意结合类比所涉及的实际问题进行分析.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,跟踪训练已知an为等比数列,a7=6,则a1a2a13=613.类比该结论,若bn为等差数列,b7=6,则bn中的类似结论为 . 解析:等比数列中,“乘积”类比到等差数列中“和”,故应有结论为b1+b2+b13=613. 答案:b1+b2+b13=613,1.由“若ab,则a+cb+c”得到“若ab,则acbc”采用的是( ) A.归纳推理 B.演绎推理 C.类比推理 D.数学证明 解析:由加法类比乘法,是运用了类比推理. 答案:C 2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式 ,可推
10、知扇形面积公式S扇等于( ),解析:我们将扇形的弧类比为三角形的底边,则扇形的半径r类比为三角形底边上的高,所以 . 答案:C,3.在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为 . 解析:因为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体积之比为相似比的立方,故体积比为18. 答案:18,4.我们知道,在平面中,如果一个平行四边形的两条对角线相等,那么这个平行四边形是矩形.将这一结论类比推广到空间中,我们可以得到怎样的结论?如何证明该结论的准确性? 解:空间中,类似的结论是:如果一个平行六面体的体对角线相等,那么这个平行六面体是直平行六面体. 证明如下:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 若对角线A1C与AC1相等, 则四边形ACC1A1是矩形, 因此A1AAC. 同理,由BD1=B1D可得四边形BB1D1D是矩形, 因此D1DDB, 即A1ADB. 又因为AC与BD相交, 所以A1A底面ABCD, 故平行六面体是直平行六面体.,
