《2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） （48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一),两角和的余弦、正弦,两角差的正弦公式,【点拨】(1)两角和差的正、余弦公式的理解及其结构特点 公式中的,均为任意角; 两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例;,两角和与差的正弦公式结构是“正余余正,加减相同”,两角和与差的余弦公式结构是“余余正正,加减相反”.,(2)两角和与差的正弦公式的一般使用方法 正用:把sin()从左向右展开; 逆用:公式的右边化简成左边的形式,当结构不具备条件时,要用相关公式调节后再逆用. 变形应用:它涉及两个方面,一是公式本身的变形;二是角的变形,也称为角
2、的拆分变换,如=(+)-,2=(+)+(-).,【自我检测】 1.cos57cos12+sin57sin12的值为 ( ) 【解析】选D.原式=cos(57-12)=cos45=,2.sin75=_. 【解析】sin75=sin(30+45) =sin30cos45+cos30sin45 = 答案:,3. 的值是_. 【解析】原式= 答案:,4.若cos=- ,是第三象限的角,则sin =_. 【解析】 答案:-,类型一 公式的简单应用 【典例】1.(2018衡水高一检测)已知角的终边 经过点(-3,4),则 的值为 ( ),2.(2018天津高一检测)已知 则cosx等于 ( ) 3. =_
3、.,【审题路线图】1.角终边上一点sin,cos展开求值. 2.已知式子的结构特点逆用两角和的正弦公式求值. 3.非特殊角特殊角的和或差展开求值.,【解析】1.选C.因为角的终边经过点(-3,4), 则sin= ,cos= , 所以,2.选B.因为 所以 所以cosx=- . 3. 答案:,【方法技巧】解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.,(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式. 提
4、醒:在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时,首先要注意结构是否符合公式特点,其次注意角是否满足要求.,【变式训练】若tan=2tan ,则 = ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选C.,因为tan=2tan ,所以上式=,类型二 给值求值问题 【典例】1.(2018益阳高一检测)已知 (为锐角),则sin= ( ),2.(2018永州高一检测)已知P,Q是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点,且分别位于第一象限和第四象限, 点P的横坐标为 ,点Q的横坐标为 ,则 cosPOQ=_. 3.已知锐角,满足cos= ,sin(-)=- , 则sin的值为_.,【审题路线图】 1.已知+ 求
5、= 展开求值. 2.点P,Q的坐标xOP,xOQ的正弦、余弦 POQ=xOP+xOQ. 3.求出sin,cos(-)=-(-)展开求值.,【解析】1.选D.因为 所以 所以 所以sin=,2.由题意可得,cosxOP= ,所以sinxOP= ; 再根据cosxOQ= ,可得sinxOQ= . 所以cosPOQ=cos(xOP+xOQ)=cosxOP cosxOQ-sinxOPsinxOQ= 答案:,3.因为,是锐角,即0 ,0 , 所以- - , 因为sin(-)=- 0, 所以cos(-)= , 因为cos= ,所以sin= , 所以sin=sin-(-),=sincos(-)-cossin
6、(-) 答案:,【延伸探究】本例2中,若点Q是第二象限的点,且纵 坐标为 ,求cosPOQ.,【解析】由题意得, cosxOP= ,所以sinxOP= , sinxOQ= ,所以cosxOQ= cosPOQ=cos(xOQ-xOP),【方法技巧】给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.,提醒:诱导公式在给值求值中的应用 当所求角=已知角1+已知角2+或所求角=已知角1+已 知角2+ 时,应借助诱导公式求值.,【变
7、式训练】在ABC中,A= ,cosB= ,则sinC等 于 ( ),【解析】选A.由题意知,sinB= 则sinC=sin-(A+B)=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB,【补偿训练】已知 则 cos=_.,【解析】由于0 ,且 所以 所以 答案:,类型三 辅助角公式的应用 【典例】1.(2018洛阳高一检测)已知 则 等于 ( ) 2.(2018全国卷)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为_.,【审题路线图】1.将已知式子展开整理逆用公式建立与要求式子的联系. 2.函数的解析式提取系数 逆用两角和的正弦公式.,【解析】1.选C.因为 所以 所以 所以 所以,2.f
8、(x)= sin(x+) = sin(x+) . 答案:,【方法技巧】辅助角公式及其运用 (1)公式形式:公式asin+bcos= sin(+ )(或asin+bcos= cos(-)将形如asin+bcos(a,b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.,(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角的系数为正,这样更有利于研究函数的性质. 提醒:在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.,【变式训练】(2018银川高一检测)已知 sin(-x)+cos(-x)= ,则 = ( ),【解析】选B.因为 所以 所以,【补偿训练】(2018郑州高一检测)已知
9、sin(x+ )= ,则cosx+cos 的值为 ( ),【解析】选B.,【核心素养培优区】 【易错案例】利用公式解三角形 【典例】(2018武侯区高一检测)在ABC中, sinA= ,cosB= ,则cosC=( ),A,【失误案例】在ABC中,因为sinA= 所以cosA= ,因为cosB= ,所以sinB= 所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB 或cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题出错的根本原因是未能判断出角A也是锐角,从而出现错解,要注意对题目中隐含条件的挖掘.,【自我纠正】选C.因为sinA= cosB= =cos ,可得:B 且sinB= ,所以若A为 钝角,则A ,则A+B,矛盾, 所以A为锐角,可得:cosA= 所以cosC=cos(-A-B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+ sinAsinB=,
