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1、辽宁省沈阳市东北育才学校辽宁省沈阳市东北育才学校 20192019 届高三上学期第一次模拟考试数学（理）届高三上学期第一次模拟考试数学（理） 试题（解析版）试题（解析版） 一：选择题。一：选择题。 1.复数（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算，化简即可得到答案 【详解】由题意，复数，所以 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解中熟记复数的四则运算，准确化简是解答的关键，着重考查 了推理与运算能力，属于基础题. 2.已知全集，4，则 A. B. C. D. 5， 【答案】B 【解析】 分析：由题意首先求得集合 U，据此
2、可得结合 B，最后求解交集运算即可. 详解：求解二次不等式可得：， 则：，结合可得：， 故=. 本题选择 B 选项. 点睛：本题主要考查补集的概念，交集的概念与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显 示甲同学的成绩比乙同学稳定，故. 【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中 数据显示甲
3、同学的成绩比乙同学稳定，故.故选. 【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题. 4.一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是 A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱 ，则截去的部分是三棱柱 ，故选 B. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问 题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不 但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，
4、还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对 几何体直观图的影响. 5.下列命题中真命题的是 A. 若为假命题，则p，q均为假命题 B. “”是“”的充要条件 C. 命题：若，则或的逆否命题为：若或，则 D. 对于实数x，y，p：，q：或，则p是q的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 由 p 且 q 的真值表可判断 A；由充分必要条件的定义和 m 是否为 0，可判断 B； 由原命题的逆否命题和 p 或 q 的否定，可判断 C；由充分必要条件的定义可判断 D 【详解】若为假命题，则 p，q 中至少有一个为假命题，故 A 错误； 若，则，可得，反之，不成立，故 B 错误； 命题：若，
5、则或的逆否命题为：若且，则，故 C 错误； 对于实数 x，y，p：，q：或，由且，可得，即 p 可得 q， 反之由 q 推不到 p，则 p 是 q 的充分不必要条件，故 D 正确 故选：D 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中熟记复合命题的真假和四种命题、充分必要条件的判断 是解答的关键， ，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6.已知，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知根据三角函数的诱导公式，求得，再由余弦二倍角，即可求解 【详解】由，得，又由 故选：C 【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二
6、倍角公 式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题 7.若实数x，y满足，则的最小值为 A. 4 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函 数得答案 【详解】由实数 x，y 满足作出可行域： 联立，解得 A（0，1） ， 化 z2xy 为 y2xz，由图可知，当直线 y2xz 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值 目标函数 z2xy 的最小值为 z1 故选：C 【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标 函数最值的一般步骤是“一画
7、、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到 目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 8.已知函数是定义在R上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数a的值为 A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，由偶函数的定义可得，解可得 a 的值，验 证的单调性即可得答案 【详解】根据题意，函数是定义在 R 上的奇函数， 则有， 解可得：， 当时，在上不是增函数，不符合题意； 当时，在上单调递增，符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了函
8、数奇偶性与单调性的性质以及应用，其中解中利用函数奇偶性的定义，得出 的值， 再借助函数的单调进行判定是解答的关键，同时注意对数的运算性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础 题. 9.某次文艺汇演为，要将A，B，C，D，E，F这五个不同节目编排成节目单，如下表： 序号 123456 节目 如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第 3 号位置，那么节目单上不同的排序方式有 A. 192 种 B. 144 种 C. 96 种 D. 72 种 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知 A，B 两个节目要相邻，可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，都不排 在第 3 号位置，那么 A
9、，B 两个节目可以排在 1，2 两个位置，可以排在 4，5 两个位置，可以排在 5，6 两个位 置，其余四个位置剩下的四个元素全排列 【详解】由题意知 A，B 两个节目要相邻，且都不排在第 3 号位置， 可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列， A，B 两个节目可以排在 1，2 两个位置，可以排在 4，5 两个位置，可以排在 5，6 两个位置， 这两个元素共有种排法， 其他四个元素要在剩下的四个位置全排列， 节目单上不同的排序方式有， 故选：B 【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答的常见方法：要先排限制条件多的元素，把限制条 件比较多的元素排列后，再排没有限
10、制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果，着重考查了分析问题和 解答问题的能力，属于基础题. 10.函数其中，的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象 A. 右平移 个单位长度 B. 左平移 个单位长度 C. 右平移个单位长度 D. 左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图象求出 的值，再由“左加右减”法则，判断出函数图象平移的方向和单位长度，即可得到答案 【详解】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故， 又函数的图象的第二个点是，所以， 所以，故 所以只需将函数的图形要向右平移个单位，即可得到的图象， 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的函数
11、图象，其中解答中根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象 的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题 11.设点为双曲线的左右焦点，点P为C右支上一点，点O为坐标原点，若是底 角为的等腰三角形，则C的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：依题意确定出是直角三角形，且边长为 ，根据其内角的大小，可以确定出三个边长（都用 表示）， 利用双曲线的定义可得的关系，求得双曲线的离心率. 详解：由题意是底角为 30等腰三角形，可得是等边三角形，从而可得是直角三角形，所以 ，根据双曲线的定义可知 可以得出，从而求得，故选 A. 点睛：该题考查的是双曲线的离心率的求
12、解问题，需要根据题的条件，提炼出的关系，从而求得离心率. 12.已知函数的导函数为，且对任意的实数x都有是自然对数的底数 ，且， 若关于x的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数 故进而得到对该函数求导得到函数的单调性 和图像，结合图像得到结果. 【详解】对任意的实数 都有,变形得到= 构造函数 故根据，得到 进而得到，对函数求导得到 根据导函数的正负得到函数在 ， 由此可得到函数的图像， 不等式的解集中恰有唯一一个整数，则此整数只能为-1，故 解得 m 的范围是：. 故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了导数在研
13、究函数的单调性和极值的问题中的应用，体现了数形结合的思想以及极限的 画图的思想；较为综合. 解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论 法，构造函数等方法来解答问题对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离， 转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数，使得一个 函数恒大于或小于另一个函数。 二：填空题。二：填空题。 13.已知的展开式中，二项式系数和为 32，各项系数和为 243，则_ 【答案】2 【解析】 【分析】 先根据二项式系数的和为，列出方程求出 n 的值，再对二项式中的 x 赋值 1
14、 列出关于 a 的方程，即可求出 a 的值 【详解】由题意，根据二项式系数和为，得， 又令，得各项系数和为， 故答案为：2 【点睛】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这 是容易出错的地方，本题考查通过给变量赋值求二项展开式的各项系数和，这是解题的关键 14.已知抛物线的焦点为F，点A在y轴上，线段AF的中点B在抛物线上，则_ 【答案】3 【解析】 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，推出中点 B 的横坐标，然后求解 B，A 的坐标，即可求出 【详解】由题意，抛物线的焦点为，点 A 在 y 轴上，线段 AF 的中点 B 在抛物线上， 由题中点公式，
15、可得 B 的横坐标为，则 B 点纵坐标为， 所以，则 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，以及中点公式的应用，属于基础题，其中解答中推出中点 B 的横坐标，再由抛物线的方程求解点 B 的纵坐标，得出点 B 的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能 力. 15.在正四面体中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的表面积为_ 【答案】 【解析】 分析：设正四面体的棱长为 ，根据侧面积与底面积之差为，求得，进而得到正四面体的外接球 的直径为，即可求解外接球的表面积 详解：设正四面体的棱长为 ，因为侧面积与底面积之差为， 所以，故，正四面体的外接球的直径为， 所以表面积
16、为 点睛：点睛：本题考查了有关球的组合体问题，解答中要注意正四面体的棱长与外接球的直径之间的关系，同 时解答时要认真审题，着重考查了学生的空间想象能力以及推理与运算能力，属于中档试题 16.如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若点D是 外一点，则当四边形ABCD面积最大值时，_ 【答案】 【解析】 分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得 ，根据范围 B（0，） ，可求 B 的值 由余弦定理可得 AC2=1312cosD，由ABC 为直角三角形，可求，, SBDC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为，利 用三角函数化一公式得到最值时的角 C 值. 详解： ，由正弦定理得到 在三角形 ACD 中由余弦定理得到，三角形 ABC 的面积为 四边形的面积为 当三
