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1、大庆铁人中学高二学年上学期开学后第一次月考试大庆铁人中学高二学年上学期开学后第一次月考试 数学（文）试题数学（文）试题 试题说明：试题说明： 1、本试题满分、本试题满分 150 分，答题时间分，答题时间 120 分钟。分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。 第第卷卷 选择题部分选择题部分 一、选择题：（每小题一、选择题：（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1.设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求解绝对值不
2、等式，然后确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解绝对值不等式可得， 据此可知“”是“”的必要不充分条件. 本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 2.已知命题，；命题 ：若，则.下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先确定 p,q 的真假，然后逐一考查所给命题的真假即可. 【详解】当时，则命题 p 为真命题； 取，满足，不满足，命题 q 为假命题； 据此可得：是假命题；是真命题；是假命题；是假命题. 本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查命
3、题真假的判定，复合命题问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.命题“若，则”的否命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】 命题的否命题同时否定条件和结论即可. 【详解】同时否定条件和结论可得命题“若，则”的否命题是:若，则. 本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查命题的否定，属于基础题. 4.“为真”是“ 为真”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】若“为真”可能 p 假
4、q 真，不一定有“ 为真”，充分性不成立； 若“ 为真”，则一定有“为真”，必要性成立， 综上可得：“为真”是“ 为真”的必要不充分条件. 本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，或命题的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解 能力. 5.在三角形中，角所对的边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合正弦定理确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】设ABC 外接圆半径为 R， 若，则，结合正弦定理有，即充分性成立； 若，则，结合正弦定理有，即
5、必要性成立； 综上可得：“”是“”的充要条件. 本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，正弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解 能力. 6.已知焦点在 轴上的椭圆的焦距为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意得 ，选 C. 7.已知椭圆的长半轴长、焦距、短半轴长成等差数列，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得到 a,c 的关系式，然后确定离心率即可. 【详解】由题意可得：， 则，又，故， 整理可得：，. 本题选择 C 选项. 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆
6、的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： 求出 a，c，代入公式； 只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2a2c2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式) 两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围) 8.若点 在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合椭圆的定义和勾股定理确定的面积即可. 【详解】设，利用椭圆的定义和勾股定理有： ，则：， 的面积. 本题选择 C 选项. 【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为
7、椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用 正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到 a，c 的关系 9. 是椭圆的一个焦点，是椭圆 上的一个动点，则 和两点间的距离的最大值和最小值分别是（ ） A. 2 和 1 B. 4 和 2 C. 6 和 2 D. 3 和 1 【答案】D 【解析】 【分析】 设出点的坐标，然后结合三角函数的性质确定最大值和最小值即可. 【详解】设椭圆上点的坐标为，不妨设点 F 的坐标为， 则：， 注意到二次函数对称轴为，函数在区间上单调递减， 据此可得：当时，有最小值 1，当时，有最大值 3， 本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查最值问题的求解，
8、三角换元的方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 10.平面上动点与定点的距离和到直线的距离的比为，则动点的轨迹的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得到关于 x,y 的等式，整理变形即可确定动点的轨迹的标准方程. 【详解】由题意可得：， 整理变形可得：. 本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，属于基础题. 11.已知椭圆过点作弦且弦被点 平分，则此弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意利用点差法确定直线方程即可. 【详解】设直线与椭圆交点为，设
9、所求直线的斜率为 k，由题意可得： ，两式作差可得：， 其中，故：，解得：， 则直线方程为：，整理为一般式即：. 本题选择 A 选项. 【点睛】本题主要考查点差法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12.关于曲线，给出下列四个结论：曲线 是椭圆；关于坐标原点中心对称；关于直线轴 对称；所围成封闭图形面积小于 8则其中正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 结合题意逐一考查所给的结论是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的结论： 对于,曲线 C:，不是椭圆方程，曲线 C 不是椭圆，错误； 对于,把曲线 C 中的(x,y)同时换成(x,y)，方程
10、不变，曲线 C 关于原点对称，正确； 对于,把曲线 C 中的(x,y)同时换成(y,x),方程变为，曲线 C 不关于直线 y=x 对称，错误； 对于,|x|2,|y|1,曲线 C:所围成的封闭面积小于 42=8， 很明显所给的曲线方程对应的图形不可能是矩形，故所围成封闭图形面积小于 8，正确. 综上，正确的命题是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的对称性，由轨迹方程分析其性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 第第卷卷 非选择题部分非选择题部分 二、填空题：（每小题二、填空题：（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.如果平面上动点满足：，则动点的轨迹的标准方
11、程为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意结合两点之间距离公式和椭圆的定义确定轨迹方程即可. 【详解】题中所给的方程即： ， 结合点到直线距离公式可得该式的几何意义即点 M 到定点的距离与到定点的距离之和为定值 10，由 于，故该该轨迹方程为椭圆， 其中椭圆焦点位于 轴上，且，故， 据此可知动点的轨迹的标准方程为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，椭圆的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能 力. 14.周长为 18 的三角形中， 为坐标原点， 为中点，当时，的长为_ 【答案】3 【解析】 【分析】 首先确定 C 点的轨迹，然后结合几何性质求解 OD 的长度即
12、可. 【详解】由题意可得：，则点 C 位于以 A,B 为焦点的椭圆上， 若，则， 注意到，由三角形中位线的结论可得. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，三角形中位线的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 15.点是椭圆上的一个动点，则的最大值为_ 【答案】 【解析】 设是椭圆上任意一点，设，则，所以 （其中） ，应填答案。 16.以下给出五个命题，其中真命题的序号为_ 函数在区间上存在一个零点，则 的取值范围是或； “任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等” ； ，； 若，则； “”是“成等比数列”的充分不必要条件. 【答案】 【解析】
13、【分析】 由题意逐一考查所给的命题是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的命题： 函数在区间上存在一个零点， 很明显，故，据此可得：， 则 的取值范围是或，题中的说法正确； “任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形，其对角线不相等”，原命题错误； 令，则，则的单调递减， 又，故恒成立，即恒成立， 据此可知，题中的说法正确； 若，则， 构造函数，则,则函数在区间上单调递增， 由于,故,，则， 综上可得，题中的说法正确； 若，满足，但是不满足成等比数列， 反之，若成等比数列，一定有， 据此可得“”是“成等比数列”的必要不充分条件，题中的说法错误. 故真命题的序号为. 【点睛】当命题真假容易判断
14、时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：一个命题的否 定与原命题肯定一真一假;原命题与其逆否命题同真假. 三、解答题：（共三、解答题：（共 70 分）分） 17.已知命题；命题 （1）若 是 的必要条件，求实数 的取值集合； （2）当时，若为真，为假，求实数 的取值集合 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 (1)首先求得命题 p 和命题 q，然后分类讨论确定实数 a 的取值范围即可； (2)由题意可知 与 一真一假，据此分类讨论确定实数 的取值集合即可. 【详解】 （1） ： ：时， 舍 时，舍 时，有 得实数 的取值集合为 （2）由题意可知 与 一真一假 时， 真时
15、对应集合为， 假时对应集合为， 真时对应集合为， 假时对应集合为 真 假时得 假 真时得 综上得实数 的取值集合 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解 能力. 18.已知椭圆，两焦点分别为、 （1）求椭圆 的两个焦点的坐标及离心率 的值； （2）设是椭圆 上一动点，求的最值 【答案】 （1）焦点，（2）， 【解析】 【分析】 (1)将椭圆方程整理为标准型，然后确定其焦点坐标和离心率即可； (2)结合椭圆方程将目标函数转化为一元函数，然后求解其最值即可. 【详解】 （1）椭圆方程即：，据此可知焦点，. （2）由可得：，且， 当时， 当时， 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，焦点坐标的求解，椭圆的中范围问题等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 19.如图，已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，. （1）求证：； （2）求点 到平面的距离. 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 【分析】 (1)由题意利用线面垂直的判定定理首先证得线面垂直，然后证明线线垂直即可； (2)利用等体积法求解点 到平面的距离即可. 【详解】 （1）证明：如图，连接.由题设可知，. ， . 而， 平面. 平面， . （2）如图，连接，. ，又， . 又， 平面，即平面. ，. 设点 到平面的距离为 ，由， 得，解得. 点 到平
