四川省2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

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1、20182018 年秋四川省棠湖中学高二年级期末考试年秋四川省棠湖中学高二年级期末考试 数学（理）试卷数学（理）试卷 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1.下列格式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 A、； B、； C、； D、； 所以纯虚数的是 C。故选 C。 2.从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人参加一项活动，则甲被选

2、中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，故选 C。 3.命题“”的否定是 A. 不存在 B. C. D. 【答案】D 【解析】 命题的否定是 故选 D 4.容量为 100 的样本，其数据分布在，将样本数据分为 4 组：，得到频率分 布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 样本数据分布在的频率为 0.32 B. 样本数据分布在的频数为 40 C. 样本数据分布在的频数为 40 D. 估计总体数据大约有 10%分布在 【答案】D 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果 【详解】对于 A，由图可得样本数据分布在的频率为，所

3、以 A 正确 对于 B，由图可得样本数据分布在的频数为，所以 B 正确 对于 C，由图可得样本数据分布在的频数为，所以 C 正确. 对于 D，由图可估计总体数据分布在的比例为，故 D 不正确 故选 D 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的能力，解题时容易出现的错误是误认为 图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点 5.已知点 M（4，t）在抛物线上，则点 M 到焦点的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 由抛物线定义得点 M 到焦点的距离为 ,而 ,所以点 M 到焦点的距离为 ,选 A. 6.若平面中，则“”是“”的（ ） A. 充

4、分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 时可以相交,所以充分性不成立;当,时成立,这是因为由可得 内一直线 垂 直 ,而,可得 内一直线 ,因此 ,即得.选 B. 7.已知椭圆的两个焦点是，点 在椭圆上，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，焦点在 轴上，则 由椭圆定义：， ，可得， 由，故为直角三角形 的面积为 故选 8.已知直三棱柱中，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 找出的中点 ，由于， 过点 作于点 直三棱柱中， 平面， 平面，则点 是点 在平面

5、的投影 故是与平面的夹角 设， 在中，求得， 在中，求得 则 故选 9.已知矩形，将矩形沿对角线折成大小为 的二面角，则折叠后形 成的四面体的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 与 的大小有关 【答案】C 【解析】 由题意得，在二面角内的中点 O 到点 A,B,C,D 的距离相等，且为，所以点 O 即为外接 球的球心，且球半径为，所以外接球的表面积为。选 C。 10.若点（5，b）在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间，则整数b的值为 A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先用待定系数法求出过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程

6、，再利用直线在y轴上的截距大于 且小 于 ，求出整数b的值 【详解】设过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为 3x4y+c0， 把点（5，b）代入直线的方程解得c4b15， 过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为 3x4y+4b150， 由题意知，直线在y轴上的截距满足：， b5， 又b是整数，b4 故选：A 【点睛】本题考查用待定系数法求平行直线的方程，以及直线在y轴上的截距满足的大小关系,属于中档 题 11.已知点为椭圆上一点，分别为椭圆 的左右焦点，当时， ，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为 ，又，所以 ，化简得： ，所以 ，故选 A.

7、 点睛：椭圆中焦点三角形性质很多，本题中考查了焦点三角形放入面积性质，点 在椭圆上时， ，类似的，在双曲线中，记住此结论可以加快解题速度. 12.已知函数（，且）在 上单调递减，且关于 x 的方程恰 有两个不相等的实数解，则 的取值范围是 A. B. ， C. ， D. ， ） 【答案】C 【解析】 试题分析：由在 上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解， 可知，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，实数 的取 值范围是，故选 C. 【考点】函数性质综合应用 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定

8、参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.若命题“存在实数 ，使”为假命题，则实数 的取值范围为_ 【答案】 【解析】 由题意，解得。 14.经过点（1，2）的抛物线的标准方程是_ 【答案】 【解析】 设抛物线的标准方程为 或 ，将（1，2）代入得 ，从而所求标准方程是 15.已知 为双曲线的左焦点，为 上的

9、点.若的长等于虚轴长的 2 倍，点在线段上， 则的周长为_ 【答案】40 【解析】 由双曲线方程得，则虚轴长为 12，线段过点为双曲线的右焦点， ，,的周长为 16.在长方体中，已知底面为正方形，为的中点， ，点是正方形所在平面内的一个动点，且，则线段的 长度的最大值为_. 【答案】6 【解析】 如图（1）所示，取的中点为 ，连接，则平面，因平面，所以，所以 ，也就是，如图（2）所示，把正方形放置在平面直角坐标系中， ，设，则，整理得，也就是圆 ，故的最大值为 . 图（1） 图（2） 点睛：是空间中的两条线段之间的关系，通过的中点 可以转化到同一平面上与的 关系，再把正方形放置在平面直角坐标系

10、中，通过研究 的轨迹（是圆）得到的最大值. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知三个班共有学生 100 人，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获取了部分学生一周 的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）. 班 67 班 678 班 5678 （）试估计 班学生人数； （）从 班和 班抽出来的学生中各选一名，记 班选出的学生为甲， 班选出的学生为乙，若学生锻炼 相互独立，求甲的锻炼时间大于乙的锻炼时间的概率. 【答案】 （I）；（II） . 【解析

11、】 【分析】 （）由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数； （）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 【详解】 （I）由分层抽样可得 班人数为：（人） ； （II）记从 班选出学生锻炼时间为 ， 班选出学生锻炼时间为 ，则所有为 ，共 9 种情况，而满足的， 有 2 种情况，所以，所求概率. 【点睛】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档 18.已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点. （）求双曲线 的方程； （）已知双曲线 的左右焦点分别为，直线 经过，倾斜角为， 与双曲线 交于两点，求 的面积. 【答案】 （1）（2）

12、 【解析】 试题分析：（1）由题易知，双曲线 方程为；（2）直线的方程为，由弦长公式得 ，所以 试题解析： （1）设所求双曲线 方程为 代入点得，即 所以双曲线 方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得 点到直线的距离. 所以 19.如图，在三棱柱 ABC中，平面 ABC，D，E，F，G 分别为，AC，的中点， AB=BC=，AC=2 （1）求证：AC平面 BEF； （2）求二面角 BCDC1的余弦值； （3）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交 【答案】(1)见解析（2）；（3）见解析 【解析】 分析：（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，

13、因此 ，最后根据线面垂直判定定理得结论， （2）根据条件建立空间直角坐标系 E-ABF，设立各点坐标， 利用方程组解得平面 BCD 一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角 相等或互补关系求结果， （3）根据平面 BCD 一个法向量与直线 FG 方向向量数量积不为零，可得结论. 详解：解：（）在三棱柱 ABC-A1B1C1中， CC1平面 ABC， 四边形 A1ACC1为矩形 又 E，F 分别为 AC，A1C1的中点， ACEF AB=BC ACBE， AC平面 BEF （）由（I）知 ACEF，ACBE，EFCC1 又 CC1平面 ABC，EF平面 ABC BE平

14、面 ABC，EFBE 如图建立空间直角坐称系 E-xyz 由题意得 B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1） ， 设平面 BCD 的法向量为， ， 令 a=2，则 b=-1，c=-4， 平面 BCD 的法向量， 又平面 CDC1的法向量为， 由图可得二面角 B-CD-C1为钝角，所以二面角 B-CD-C1的余弦值为 （）平面 BCD 的法向量为，G（0，2，1），F（0，0，2）， ， 与不垂直， GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，GF 与平面 BCD 相交 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明

15、线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 20.简阳羊肉汤已入选成都市级非遗项目，成为简阳的名片当初向各地作了广告推广，同时广告对销售收 益也有影响在若干地区各投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示） 由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的 （）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度； （）根据频率分布直方图，估计投入 4 万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代 表该组的取值） ； （）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入x（单位：万元） 12345 销售收益y（单位：百万元） 2327 表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归 方程回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【答案】 （I） ；（II） ；（III）空白处填 ，回归直线方程为. 【解析】 【分析】 （）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可计算图中各小长方形的宽度； （）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值； （）求