四省联考2019届毕业班第二次诊断性考试理数试题（精品解析）

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1、高中高中 20162016 级毕业班四省联考级毕业班四省联考( (原衡水大联考）第二次诊断性考试原衡水大联考）第二次诊断性考试 理数试题理数试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。要求的。 1.已知集合，则（ ） A. (-2,3) B. (1,3) C. (-2,1) D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求得集合 A 的解集，和集合 B 的解集，然后求它们的交集. 【详解】对于集合 A：，解得，对于集合 B：解得，故.故选 B. 【点睛】

2、本小题主要考查集合交集的求法，考查一元二次不等式的解法以及一元一次不等式的解法.属于基础题. 2.已知复数 满足(i 为虚数单位)，则复数 所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用复数的除法运算求得 的表达式，再得出复数对应的点在哪个象限. 【详解】依题意，对应的点为，在第三象限，故选 C. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数与复平面上的点的一一对应关系，属于基础题. 3.若向量，且与 的夹角为钝角，则实数 m 的取值范围是（ ） A. (0,2) B. (- ，2) C. (-2,2) D. (-,

3、0)(2,+) 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得的值，然后利用向量夹角公式，计算与 的夹角的余弦值，此余弦值小于零，解这个不等式；然 后排除两个向量反向时 的值，由此求得 的取值范围. 【详解】，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得，即 ，解得或. 当向量共线时，此时，与 夹角不是钝 角，不合题意. 的取值范围是或.故选 D. 【点睛】本小题主要考查向量的夹角公式的应用，考查向量减法的坐标运算，还考查了钝角的余弦值为负数等 知识， 要注意排除两个向量反向时 的值，属于基础题. 4.已知等差数列an的前 n 项和 Sn，若 S6=30，S10=10，则 S16=（ ） A. -160 B

4、. -80 C. 20 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等差数列基本元的思想，将题目所给两个条件转化为的形式，解方程组求得，进而求得的值. 【详解】由于数列为等差数列，故，解得，故 ，故选 B. 【点睛】本小题主要考查利用等差数列的基本元思想，求得首项和公差，考查等差数列的前 项和公式，属于基 础题.对于题目给定数列为等差或者等比数列，并且给出两个已知条件的，那么可以利用基本元的思想，将两个 已知条件转化为或者的形式，列方程组可求得它们的值. 5.已知锐角 满足 sin,cos, 成等比数列，则 tan 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据

5、等比中项的性质列出方程，化简为含有的形式，解方程求得的值. 【详解】根据等比中项的性质有，即，由于 为锐角，解得， 故，故.所以选 B. 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 6.2018 年国际山地旅游大会于 10 月 14 日在贵州召开，据统计有来自全世界的 4000 名女性和 6000 名男性徒步 爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为 1000 名和 2000 名，抵达终点的徒步爱好 者可获得纪念品一份。若记者随机电话采访参与本次徒步运动的 1 名女性和 1 名男性徒步爱好者，其中恰好有 1 名徒步爱好者获得纪念品的概率

6、是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 有两种情况，采访的两个人中：男性获得纪念品，女性没有获得纪念品；男性没有获得纪念品，女性获得纪念 品.按照分步乘法计数原理计算每种情况的概率，再按分类加法计数原理相加，得到所求的概率. 【详解】 “男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为， “男性没有获得纪念品，女性获得 纪念品” 的概率为，故“恰好有 名徒步爱好者获得纪念品” 的概率为.故选 C. 【点睛】本题主要考查古典概型的计算，计算的方法是：先对事件进行分类，分成两类，然后每一类都按照分 步计数原理来计算概率，最后相加得到结果.属于基础题. 7.若 x,y 满足约束

7、条件，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 画出可行域，目标函数表示可行域内的点到直线的距离的 倍.先求得最小距离，再乘以 来得到正 确选项. 【详解】将目标函数变形为，即“目标函数表示可行域内的点到直线的距离的 倍”.画出可行域如下图所示，由图可知，点 到直线最短，联立，解得最短 距离为，乘以 得 ，故选 A. 【点睛】本小题考查线性规划问题，目标 函数属于直线型的目标函数，要注意最后乘上目标函数的分母.属于基础题. 8.球体是建筑、装修等常用的造型，现有一块三棱柱石材的三视图如下，若工匠师傅将其加工为球体，则得到 的球体的最大体积为（ ） A.

8、 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由三视图可知几何体为三棱柱.根据正视图等边三角形计算出内切圆的半径，比较侧视图计算出内切圆的半径， 可以得到最大内切球的半径，并由此计算出体积. 【详解】由三视图可知该几何体为三棱柱，由正视图可知，棱柱的底面为等边三角形，高为，故内切圆半径 为.由侧视图可知，内切圆的半径为 ，而，所以三棱柱内切球的半径只能是，故体积为 ，故选 A. 【点睛】本小题主要考查几何体内切球的有关计算，考查球体的体积公式，考查了由三视图得到几何体等知识. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点或者接点的位置确定有 关元素间的数量

9、关系，还可以画出截面图形来分析.属于基础题. 9.设点 P 在曲线上，点 Q 在直线 y=2x 上，则 PQ 的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值. 【详解】先求曲线上切线斜率为 的点的横坐标：令，解得，代入曲线方程求得，故切点 为，斜率为 的直线方程为，将两条平行直线的方程化为一般式得，故两平行 直线的距离为.故选 D. 【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上， 使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行

10、线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在 求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题. 10.已知曲线 与直线 y=x+b 有两个不同的交点，则 b 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 曲线表示的是半圆，画出半圆和直线的图像，通过图像确定有两个交点时， 的取值范围. 【详解】曲线方程可变为，表示圆心在，半径为 的圆的上半部分.画出图像如下 图所示，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得（由图可知 舍去）.当过点，代入直线方程，求得，此时直线和半圆有两个交点.故 的取值范围 是. 【点睛】本小题主 要考查圆的方程

11、的识别，考查直线和圆的位置关系，还考查了数形结合的数学思想方法.属于中档题. 11.如图所示，四边形 ABCD 为边长为 2 的菱形，B=60，点 E,F 分别在边 BC,AB 上运动(不含端点)，且 EF/AC，沿 EF 把平面 BEF 折起，使平面 BEF底面 ECDAF，当五棱锥 B-ECDAF 的体积最大时，EF 的长为 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由可知三角形为等边三角形，设，由此计算得的高，以及五边形的面积，由此写 出五棱锥的体积的表达式，并用导数求得当 为何值时，体积取得最大值. 【详解】由可知三角形为等边三角形，设，等边三角形的高为，面积

12、为，所以五边 形的面积为，故五棱锥的体积为.令 ，解得，且当时，单调递增，时，单调递减，故在 时取得极大值也即是最大值.故选 B. 【点睛】本小题考查等边三角形的面积公式（若等边三角形的边长为 ，则面积为.），考查锥体的体积公式， 考查利用导数的方法求体积的最大值.题目是一个折叠问题，折叠问题解决的第一步是弄清楚折叠前后，有那些 量是不变的，有哪些是改变的.属于中档题. 12.已知正方形 ABCD 的边长为 7，点 M 在 AB 上，点 N 在 BC 上，且 AM=BN=3，现有一束光线从点 M 射向点 N，光线每次碰到正方形的边时反射，则这束光线从第一次回到原点 M 时所走过的路程为（ ）

13、A. B. 60 C. D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】 利用镜面反射的性质，画出反射光线的路径，再利用相似三角形求得各反射光线的长度，进而求得总路程. 【详解】利用镜面反射的性质，画出反射光线的路径如下图所示.由图可知，整个过程可以分为两个阶段第一个 阶段是光线从开始，经过反射后到达 点的位置，第二个阶段是从 点开始，经过反射回到点的位置.这两个 阶段的路程是一样长的.依题意可得，记，则， ，故，, , .建立如图所示平面直角坐标系，可知，由两点间的距离公式得. 综上所述，总路程为 .故选 D. 【点睛】本小题主要考查入射光线和反射光线的知识， 考查相似三角形的知识，考查几何作图的

14、能力以及运算求解能力.属于难题. 第第 IIII 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9090 分）分） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分。分。 13.展开式中的常数项是_。 【答案】-20 【解析】 【分析】 根据分子的二项式展开式的通项，求得对应的项的系数，由此求得常数项. 【详解】展开式中，的项为，故常数项为 【点睛】本小题主要考查二项式的展开式中的指定项.由于题目所给式子是分式的形式，故先考虑分子所包含的 二项式的展开式.属于基础题. 14.在各项均为正数的等比数列an中，a1=2，且成等差数列，设, Sn

15、 为数列bn的前 n 项和， 则 S9=_。 【答案】45 【解析】 【分析】 先求得数列 的通项公式，从而求得的通项公式，由此求得的值. 【详解】根据 4a2,2a3,a8成等差数列得，由于数列 是等比数列，故，解得. 故，所以，为等差数列，故. 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查对数的运算公式，考查等差数列求和，还考查了等差中 项的性质.若三个数成等差数列，则满足.若三个数成等比数列，则满足.等比数列的基本 量是首项和公比，题目已知首项，再列一个方程可求得公比的值. 15.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，对任意 x1x20 恒有成立，则不等式 f(x+2)-f(2

16、) x2+4x 的解集为_。 【答案】 或 【解析】 【详解】依题意当时，即， 即成立. 当时，由于函数为偶函数，任取， 故，所以， 故当时，与同解，由解得. 所以不等式的解集为x|或. 【点睛】本小题主要考查偶函数的定义与性质，考查恒成立问题的解法以及化归与转化的数学思想方法，属于 中档题. 16.在平面上给定相异两点 A,B，设 P 点在同一平面上且满足，当 0 且 1 时，P 点的轨迹是一个圆， 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆, A,B 为椭圆的长轴端点，C,D 为椭圆的短轴端点，动点 P 满足，PAB 面积最大值为 ,PCD 面积最小 值为 ，则椭圆离心率为_。 【答案】 【解析】 【分析】 利用两点间的距离公式求得 点的轨迹方程，根据两个三角形面积的最值列方程，由此求得的值及离心率的 值. 【详解】