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1、集宁一中集宁一中 2018-20192018-2019 学年第一学期期末考试学年第一学期期末考试 高二年级理科数学试题高二年级理科数学试题 一选择题。一选择题。 1.一元二次不等式的解集是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用一元二次不等式的解法直接求解。 【详解】令，解得：， 所以的解集为： 故选：A。 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题。 2.,且与互相垂直，则 的值 ( ) A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：由已知，因为与互相垂直，所以 ，即 ，故选 D 考点：两向量垂直 3.已知函数，为的导函数，则的值为（
2、） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用乘法的求导法则对函数进行求导，将代入导函数，求得正确选项. 【详解】依题意，故，所以选 B. 【点睛】本小题主要考查两个函数相乘的导数的运算，考查基本初等函数的导数，属于基础题. 4.等比数列的前 项和为，且， ， 成等差数列，若，则（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 试题分析：设等比数列的公比为 ，成等差数列，则即，解得， ，则； 考点：等比数列；等差中项； 5.设，则下列各不等式一定成立的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 令，计算的值，由此得出正确选项
3、. 【详解】令，则故，所以选 B. 【点睛】本小题主要考查不等式的基本性质，考查利用特殊值解法比较大小，属于基础题. 6.的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：根据正弦定理，解得，并且，所以 考点：1正弦定理；2面积公式 7.已知数列为等差数列,为等比数列，且满足：，,为的导函数， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质求得，根据等比数列的性质求得，求得函数的导函数后，计算出相应的导 数值. 【详解】根据等差数列的性质由，根据等比数列的性质有. 故本题选 A. 【点
4、睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等比数列的性质，考查基本初等函数的导函数以及导数的计算， 属于基础题. 等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是 等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则 8.已知双曲线的离心率为，则点到 的渐近线的距离为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：由离心率计算出 ，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。 详解： 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选 D 点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。 9.若x，y满足 则x + 2y的最大值为 A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【
5、答案】D 【解析】 试题分析：如图，画出可行域， 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选 D. 【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标 函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求常见的目标函数类型有：（1）截距 型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直 线的截距 的最值间接求出 的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题 属于截距形式. 10.以下判断正确的是 （ ） A. 函数为 上的可导函数，则是为函数极值点的充要条件 B. 若命题为假命题，则命题 与
6、命题 均为假命题 C. 若，则的逆命题为真命题 D. 在中， “”是“”的充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 根据极值点的定义，判断 A 选项是否正确.根据含有简单逻辑联结词命题的真假，判断 B 选项是否正确.写出原 命题的逆命题并判断真假，由此得出 C 选项是否正确.根据三角形大角对大边以及正弦定理，判断 D 选项是否 正确. 【详解】对于 A 选项，由于导数为零的点不一定是极值点，故 A 选项错误.对于 B 选项，由于为假命题， 则至少有一个为假命题，故 B 选项错误.对于 C 选项，原命题的逆命题为“若，则”，显然， 但是，故逆命题为假命题，所以 C 选项错误.对于 D 选项，根据
7、三角形中大角对大边，及正弦定理有 ，所以 D 选项正确.故选 D. 【点睛】本小题主要考查极值点的概念，考查含有简单逻辑联结词命题真假性判断，考查逆命题真假性的判断， 考查正弦定理以及充要条件等知识，属于中档题. 11.在长方体中，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确 定，之后利用长方体的体积公式 详解：在长方体中，连接， 根据线面角的定义可知， 因为，所以，从而求得， 所以该长方体的体积为，故选 C. 点睛：该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的
8、体积公式为长宽高的乘积， 而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要，此时就需要明确线面角的 定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果. 12.已知抛物线，圆，过点 作直线 ，自上而下顺次与上述两曲线交于点（如图所 示） ，则的值正确的是 ( ) A. 等于 B. 最小值是 C. 等于 D. 最大值是 【答案】C 【解析】 【分析】 当直线 斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线和圆的方程，求得 A,B,C,D 四个点的坐标，由此求得 的值.当直线 斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用抛物线的定义和 圆的半径求得的表达式，由此求得的取值范围
9、，进而得出正确选项. 【详解】当直线 斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程和圆的方程，求得的纵坐标分别为 ，故.当直线 的斜率不存在时，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简 得，.根据抛物线的定义以及圆的半径可知 .故选 C. 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的几何性质以及圆的性质，考查化归与转化的 数学思想方法.属于中档题.由于题目所给直线没有说明直线斜率是否存在，所以首先要对直线斜率分成斜率存 在和斜率不存在两种情况来讨论.抛物线的定义在解有关过抛物线焦点的弦问题时，要重点考虑. 二填空题。二填空题。 13.命题“ ,”的否定是_. 【答案】 【解析】 【分析】
10、 根据特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定. 【详解】原命题是特称命题，故其否定是全称命题，为“” 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题.属于基础题. 14.若双曲线的离心率为，则实数_ 【答案】2 【解析】 ，.渐近线方程是. 15.若直线过点（1,2）,则 2a+b 的最小值为_. 【答案】 【解析】 ，当且仅当 时取等号. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中 “正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条 件)的条件才能应用，否则会出现错误. 16.已
11、知直线与曲线相切于点，则 的值为_. 【答案】2019 【解析】 【分析】 将切点代入曲线方程求得 ，将切点代入直线方程，将切点横坐标代入曲线对应函数的导函数，求得切线的斜率， 由此列方程组，解方程组求得的值. 【详解】将点 坐标代入曲线方程得，曲线方程为，对应函数的导数为 .依题意得，解得，. 【点睛】本小题主要考查函数导数与切线方程，考查待定系数法求曲线的解析式，属于中档题. 三解答题。三解答题。 17.已知是公差不为零的等差数列,成等比数列. （1）求数列的通项; （2）求数列的前 n 项和. 【答案】(1)(2) 【解析】 分析：（1）由题设知公差，由 成等比数列，可得，解出即可得 出
12、 (2) ，利用“裂项求和”即可求得 详解： (1)由题设知公差， 由成等比数列得, 解得d1，d0(舍去)， 故的通项. (2) , . 点睛：本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题 18.的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 （1）求 C； （2）若，求 c. 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得 的大小.（2）利用余弦定理求得 的值. 【详解】由正弦定理得，即，即，由于在 三角形中，故.（2）由余弦定理得. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查两
13、角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于基础题. 19.设 A，B 为曲线 C：y=上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4. （1）求直线 AB 的斜率； （2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，求 M 点的坐标及切线方程. 【答案】 （1）1（2） 【解析】 【分析】 （1）设出直线的方程，代入抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用横坐标和为 列方程，求得直线 的斜率.（2）令导数等于直线的斜率，解方程求得切点的横坐标，进而求得切点坐标以及切线方程. 【详解】 （1）由于直线和开口向上的抛物线相交于两点，故直线的斜率存在，设直线方程为，代入 抛物线方程并整理得
14、，所以，即直线斜率为 .（1）依题意， 代入抛物线方程求得，故切点坐标为，且斜率为 ，由点斜式得，即. 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查利用导数求曲线的切点坐标以及切线方程，属于中档 题. 20.如图，将长为 4，宽为 1 的长方形折叠成长方体 ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边， 连接 A1B,A1C,A1D. （1）求长方体 ABCD-A1B1C1D1体积的最大值 ； （2）当长方体 ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角 B-A1C-D 的大小. 【答案】(1)1;(2) 【解析】 【分析】 （1）用 表示出长方体 ABCD-A1B1C1D1体
15、积为：，求该二次函数类型函数的最大值即可。 （2）由（1）得时，长方体 ABCD-A1B1C1D1体积最大，此时该几何体为正方体，过点 作垂直 A1C 于点 E， 连接 ED，则就是二面角 B-A1C-D 的一个平面角，解三角形即可。 【详解】 （1）长方体 ABCD-A1B1C1D1体积为：，当时，所以长方体 ABCD- A1B1C1D1体积的最大值为 1. （2）由（1）得时，长方体 ABCD-A1B1C1D1体积最大，此时该几何体为正方体，过点 作垂直 A1C 于点 E， 连接 ED， 由正方体可得：,所以就是二面角 B-A1C-D 的一个平面角， 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中
16、可得：， 在三角形由余弦定理得： 所以 【点睛】本题主要考查了函数思想，二次函数类型函数的最值及二面角的概念，还考查了余弦定理及计算能力， 属于基础题。 21.已知椭圆的离心率为，焦距为斜率为 的直线 与椭圆有两个不同的交点 ， （1）求椭圆的方程 （2）若，求的最大值. 【答案】(1)(2)当直线过原点时最大，为 【解析】 【分析】 （1）由椭圆离心率为，焦距为列方程组求解即可。 （2）设直线 方程为：，由直线 与椭圆有两个不同的交点 ， 得到 的范围，联立直线与椭圆方程， 整理，表示出，从而表示出，转化成函数最大值问题求解。 【详解】 （1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的方程为：。 （2）设直线 方程为：，联立直线与椭圆方程得：，整理得： ，所以， 直线 与椭圆有两个不同的交点 ， ，则
