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1、高二重点班期末考试数学（文）试题高二重点班期末考试数学（文）试题 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目的要求符合题目的要求) ) 1.如图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆，那么这个几何体 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由三视图可知，该几何体表示底面半径为 ，母线长为 ， 所以该几何体的表面积为，故选 B. 2.如图，函数 yf(x)在 A，B 两点间的平均变化
2、率等于( ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平均变化率的概念求解. 【详解】易知，因此，故选 D 【点睛】求平均变化率的一般步骤：求自变量的增量x=x2-x1，求函数值的增量y=f（x2）- f（x1） ，求函 数的平均变化率 . 3.下列导数公式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，依次分析选项，计算选项中函数的导数，分析即可得答案 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于 A， （xn）nxn1，A 错误； 对于 B， （ ），B 错误； 对于 C， （sinx）cosx，C 错误； 对于 D，D
3、正确； 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握基本函数的导数计算公式，属于基础题. 4.为方程的解是为函数 f(x)极值点的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 是的解，则是函数的极值点或拐点；若是函数的极值点，则有。所以“是的 解”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，故选 B 5.在平面直角坐标系中，点 的直角坐标为.若以原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 的极坐标可以是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由极坐标与直角坐标转化式，将点坐标直接进行转化即可。 【
4、详解】根据直角坐标与极坐标转化方程， ，代入得 所以选 A 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的转化，熟练记忆转化公式是关键，是基础题。 6.极坐标方程1 表示( ) A. 直线 B. 射线 C. 圆 D. 椭圆 【答案】C 【解析】 【分析】 先由极坐标方程，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用，进行代换即可得 直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断即可得答案. 【详解】将方程化成直角坐标方程为， 所以其表示的是以原点为圆心，以 1 为半径的圆， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关判断曲线形状的问题，涉及到的知识点有极坐标与平面直角坐标的转化，另一种做 法就是根据极径的几何意义，确定出其
5、为满足到极点的距离为定值 1 的动点的轨迹，从而得到结果. 7.在同一平面直角坐标系中，将曲线y cos2x按伸缩变换后为( ) A. ycos x B. y3cosx C. y2cosx D. y cos 3x 【答案】A 【解析】 【分析】 把伸缩变换的式子变为用表示，再代入原方程即可求出结果. 【详解】因为伸缩变换， 所以，代入，可得， 化简可得， 故选 A. 【点睛】该题考查的是有关伸缩变换后曲线方程的求解问题，涉及到的知识点有伸缩变换规律对应点的坐标之 间的关系，属于简单题目. 8.已知函数，其导函数的图像如图所示，则（ ） A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数
6、 D. 在处取极大值 【答案】C 【解析】 ：由导函数的图像可知：时，时，因此在为 增函数，在为减函数，所以 x=0 取得极大值，x=2 取得极小值，x=4 取得极大值，因此选 C。 9.设函数,若,则 等于( ) A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】 对求导，令，即可求出 的值. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以，故选 C. 【点睛】该题考查的是有关根据某个点处的导数，求参数的值的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，属 于简单题目. 10.函数的图像在处的切线方程是,则等于( ) A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】
7、据切点处的导数值为切线的斜率，故为切线斜率，又由切线方程是，即斜率为，故，又 为切点纵坐标，据切点坐标与斜率可求得答案. 【详解】因为， 故， 故选 B. 【点睛】该题考查的是有关某个点处的函数值与导数的值的运算结果问题，涉及到的知识点有切点在切线上， 切线的斜率即为函数在该点处的导数，从而求得结果. 11.如果函数在上单调递增,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 已知函数在上单调递增，对其进行求导转化为在恒成立，从而求解得结 果. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在恒成立， 所以， 解得，故选 B. 【点睛】该题考查的是根据函数在定义域上单调求
8、参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有导数的符号与函 数的单调性的关系，易错点就是导数大于等于零，而不是大于零. 12.对于函数,给出下列命题:(1)是增函数,无最值;(2)是减函数,无最值;(3)的递增区间为 ,递减区间为;(4)是最大值,是最小值.其中正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A 【解析】 【分析】 令，求得或，再利用导数的符号求得函数的单调区间，从而得到函数的极值，从而得出结论. 【详解】对于函数，求得， 令，求得或， 在上，函数为增函数； 在上，函数为减函数； 在上，函数为增函数；从而得到函数没有最大最小值， 故排除，只有正确， 故
9、选 A. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的个数问题，涉及到的知识点有函数的单调性与导数符号的关系，函数极 值的概念，极值与最值的关系，属于中档题目. 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，把正确答案填在题中横线上分，把正确答案填在题中横线上) ) 13.函数在处的切线方程是_ 【答案】 【解析】 【分析】 首先利用求导公式对函数求导，将代入导函数解析式，求得导函数在处的函数值，根据导数的几何意 义，可知导数即为切线的斜率，根据点斜式方程，写出切线的方程，化简求得结果. 【详解】由得，所以，所以切线的斜率为 4，
10、根据点斜式可知所求的切线方程为，化简得， 故答案为. 【点睛】该题考查的是导数的几何意义，首先要求出函数的导数，涉及到的知识点有函数的求导公式，直线方 程的点斜式，熟练掌握基础知识是解题的关键. 14.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 【答案】 【解析】 圆的圆心 直线；点 到直线 的距离是 15.曲线 C 的直角坐标方程为 x2y2-2x=0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线 C 的极坐 标方程为_。 【答案】 【解析】 将 x2y22，xcos 代入 x2y22x0 得 22cos0，整理得 2cos 16. 已知函数 yxf（x）的图象如图所示（其中 f（x）是
11、函数 f（x）的导函数） ，给出以下说法： 函数 f（x）在区间（1，）上是增函数； 函数 f（x）在区间（1,1）上无单调性； 函数 f（x）在 x 处取得极大值； 函数 f（x）在 x1 处取得极小值其中正确的说法有_ 【答案】 【解析】 试题分析：由图像可知当时,可得此时; 当时,可得此时; 当时,可得此时; 当时,可得此时, 综上可得或时;当或时 所以函数在和上单调递增;在上单调递减所以函数在处取的极小值 所以正确的说法为 考点：用导数研究函数的性质 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 个小题，满分个小题，满分 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解
12、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ) 17.已知函数f(x)x34x4. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【答案】 （1）见解析（2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】 （1）求出导函数，令导函数为 0，求出两个根，分别令导数大于零，小于零，求得自变量的范围，从而确定出函 数的单调区间； （2）根据函数的单调性，从而确定出函数的极值. 【详解】 （1） 令 当，即或，函数单调递增， 当，即，函数单调递减， 函数的单调增区间为和，单调递减区间为 （2）由（1）可知，当时，函数有极大值，即 当时，函数有极小值，即 函数的极大值为，极小值为 【点睛】该题考查的是有关应用导数
13、研究函数的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导 数研究函数的极值，灵活掌握基础知识是正确解题的关键. 18.设函数，其中.已知在处取得极值. （1）求的解析式； （2）求在点处的切线方程. 【答案】 （1）;（2） 【解析】 分析：求出原函数的导数，根据在处取得极值，得到，由此求得 的值值，则函数的解析式可求； （2）由（1）得到，求得，所以在点处的切线方程可求. 详解：（1）. 因为在处取得极值，所以， 解得，所以. （2） 点在上，由（1）可知， ，所以切线方程为. 点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题需要注意的是函数的极值点处的导数等于 零，但导
14、数为零的点不一定是极值点，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题. 19.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO底面 ABCD，E 是 PC 的中点。 求证：（1）PA平面 BDE ； （2）平面 PAC平面 BDE. 【答案】证明：（）连结 EO， 在PAC 中，O 是 AC 的中点，E 是 PC 的中点， OEAP 又OE平面 BDE， PA平面 BDE， PA平面 BDE （）PO底面 ABCD， POBD 又ACBD，且 ACPOO， BD平面 PAC 而 BD平面 BDE， 平面 PAC平面 BDE。 【解析】 证明：（）连结 EO， 在PAC 中，O 是 AC 的中点
15、，E 是 PC 的中点， OEAP 又OE平面 BDE， PA平面 BDE， PA平面 BDE （）PO底面 ABCD， POBD 又ACBD，且 ACPOO， BD平面 PAC 而 BD平面 BDE， 平面 PAC平面 BDE 20. 选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系下，已知圆 O：和直线， （1）求圆 O 和直线 的直角坐标方程； （2）当时，求直线 与圆 O 公共点的一个极坐标. 【答案】 （1） 圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2-x-y=0,直线 l 的直角坐标方程为 x-y+1=0 （2） 【解析】 （1）圆 O：，即 圆 O 的直角坐标方程为：，即 直线，即 则直线 的直角坐标方程为：，即 （2）由得 故直线 与圆 O 公共点的一个极坐标为 21.如图，一矩形铁皮的长为 8cm，宽为 5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子， 问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？ 【答案】18 【解析】 解：设小正方形的边长为 厘米，则盒子底面长为，宽为 盒子容积4 分 由6 分 ，（舍去）10 分 ，在定义域内仅有一个极大值， 14 分 22.如图，梯形中，,是线段上的两点,且,.现 将,分别沿,折起,使两点重合于点 ,得到多面体（1）求证：平面 平面
