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1、黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校 2017-20182017-2018 学年学年 高二上学期期中考试数学（理）试题高二上学期期中考试数学（理）试题 第第 I I 卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题：（共一、选择题：（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，选择一个符在每小题给出的四个选项中，选择一个符 合题目要求的选项合题目要求的选项. .） 1.原命题 p：“设 a，b，cR，若 ab，则 ac2bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
2、A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 分析：对原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题逐一判断真假即可. 详解：原命题：“设a，b，cR R，若ab，则ac2bc2” ，当 c=0 时显然不成立，所以是假命题；由于原 命题是假命题，所以其逆否命题也是假命题；逆命题为：若ac2bc2 ，则 ab,是真命题；由于逆命题和否命题互为逆否命题，所以其真假性是一样的，所以其否命题也是真 命题.所以在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为 2，故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查四种命题及其真假，考查互为逆否的命题的真假性是一样的这个知识点，意在考查 学生对这些基础
3、知识的掌握水平和分析推理能力. (2)互为逆否的命题的真假性是一致的，这个重要性质在判 断命题真假时要灵活运用. 2.设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则能得出 ab 的是( ) A. a，b， B. a，b， C. a，b， D. a，b， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据线线垂直的判断定理. 【详解】A.a 可能垂直于 b 也可能不垂直于 b，故错误； Ba/b 故错误； C因为 a，b， 所以 b 又 a， 则 ab Da 可能垂直于 b 也可能不垂直于 b，故错误； 故选 C 【点睛】本题考查了空间直线与直线、直线与平面位置关系，直线与直线位置包括：平行、相交、异面
4、，直线 与平面位置包括：直线在平面内和直线在平面外；位置关系判定主要应用线线平行、垂直，线面平行、垂直的 判定定理. 3.抛物线 yax2的准线方程是 y1，则实数 a 的值为 A. B. C. 4 D. 4 【答案】B 【解析】 试题分析：由已知中抛物线方程 又抛物线的准线方程是 y=1，选 B. 考点：本试题考查了抛物线的简单性质的简单运用。 点评：抛物线的简单性质，是一道基础题也是高考常考的题型找出抛物线标准方程中的 p 值是解本题的关 键要求学生掌握抛物线的标准方程如下：（1）y2=2px（p0） ，抛物线开口方向向右，焦点 F（ ，0） ，准线 方程为 x=- ；（2）y2=-2px
5、（p0） ，抛物线开口方向向左，焦点 F（- ，0） ，准线方程为 x= ；（3） x2=2py（p0） ，抛物线开口方向向上，焦点 F（0， ） ，准线方程为 y=- ；（4）x2=-2py（p0） ，抛物线开口 方向向下，焦点 F（0，- ） ，准线方程为 y= 4.函数 f(x) 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A. a1 【答案】A 【解析】 【分析】 函数 y=f（x）只有一个零点，分段函数在时， 存在一个零点为 1，在无零点，所以函数图象向 上或向下平移，图像必须在 x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容 易选成充要条件. 【详解】当时
6、，y=，x=1 是函数的一个零点， 则当无零点，由指数函数图像特征可知：a0 或 a1 又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求 a0 或 a1 的一个真子集， 故选 A 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的 正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错. 5.设 e 是椭圆的离心率，且 e ，则实数 k 的取值是( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 首先分类讨论：1.焦点在 x 轴；2 焦点在 y 轴，根据离心率公式列出关于 k 的方程. 【详解】
7、 （1）当焦点在 x 轴时,即 k4 e= ,解得 k= 综上所述：k=或 故选 D 【点睛】本题考查利用椭圆离心率求解椭圆方程和分类讨论思想;利用离心率公式求解椭圆方程需要分清楚 “a”和“b”需要分类讨论. 6.已知直线和直线，抛物线上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 试题分析：如图所示：设抛物线上动点到直线和直线的距离分别为，抛物线的焦点 ，准线，根据抛物线定义，所以，由图可知:当过点是过点 且垂直于直线的直线和抛物线交点时，距离和最小，最小值是点到直线的距离，即： 考点：1、点到直线的距离公式；2、抛物线的定义.
8、7.执行如图所示的程序框图，输出的 值是（ ） A. B. -1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 试题分析：该程序框图所表示的算法功能为，故选 D. 考点：1.程序框图；2.余弦函数的周期性. 【名师点睛】本题主要考查程序框图与余弦函数的周期性，属中档题；程序框图与三角函数周期性是高考的必 考内容，将两者综合在一起，是本题的亮点. 8.过双曲线的左焦点 F1作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 A，B，若，则双曲线的渐近线方程为( ) A. 3xy0 B. x3y0 C. 2x3y0 D. 3x2y0 【答案】A 【解析】 【分析】 直线过双曲线的左焦点 F1斜率
9、为 1，设 l 的方程：y=x+c，与双曲线渐近线方程 联立可求的交点坐标， 利用 ，可知 A 是 中点，即可得出 a，b 的关系. 【详解】设直线 l 的方程：y=x+c， 解得： 和 则 A B 因为 所以 化解得：b=3a 则双曲线的渐近线为 故选 A 【点睛】熟练掌握双曲线的渐近线、直线的方程与交点等是解题的关键，其中运算能力也是本题考查的重点之 一. 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知,几何体左边为一个二分之一圆锥,其底面圆半径为 1,高为 1,记体 积为 V1.右边为一个地面半径为 1 高为
10、2 的圆柱 【详解】由三视图可知,几何体左边为一个二分之一圆锥,其底面圆半径为 1,高为 1,记体 积为 V1.右边为一个地面半径为 1 高为 2 的圆柱，记体积为 V2,则 ， 所以几何体的体积为 故选 B 【点睛】三视图问题是高考热点之一，主要是根据三视图能够还原出空间几何体的图形，再利用空间几何体的 图形特征解决问题. 10.圆 x2y22y30 被直线 xyk0 分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为 13，则 k( ) A. 1 或1 B. 1 或3 C. 1 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直线将圆分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为 13，则较短弧对应的圆心角是直
11、角，利用圆心到直线 的距离建立关系即可. 【详解】圆的标准方程为 ，设直线和圆交与 A，B 两点， （如图） 较短弧长与较长弧长之比为 13，则 则圆心到直线的距离 即 解得：k=1 或 k=-3 故选 B 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据条件得到圆心到直线的距离是是解决本题的关键. 11.设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O,所成的角为 60的直线 A1B1和 A2B2,使=,其 中 A1,B1和 A2,B2分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设双曲线的焦点在 x 轴上,
12、则双曲线的一条渐近线的斜率 k= ,由题意知满足k,所以 3, 1+4,即 2,又双曲线的离心率为 e= =,所以e2.故选 A. 12.如图，平面四边形中，将其沿对角线折成四面体， 使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设 BC 的中点是 E，连接 DE，由四面体 ABCD 的特征可知，DE 即为球体的半径. 【详解】设 BC 的中点是 E，连接 DE，AE， 因为 ABAD1，BD 由勾股定理得：BAAD 又因为 BDCD，即三角形 BCD 为直角三角形 所以 DE 为球体的半径 故选 A 【点睛】求解球体
13、的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径 R 的方程 式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径 R 的方程. 第第 IIII 卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 二、填空题：二、填空题：( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上) ) 13.命题“”的否定是_ 【答案】 【解析】 【分析】 全称命题的否定是特称命题. 【详解】 否定是： 【点睛】全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定. 14.在长方体
14、 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则 D1C1与平面 A1BC1所成角的正弦值为 _ 【答案】 【解析】 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)， (0,2,0)， 设平面 A1BC1的一个法向量为 n(x，y，z)， 由得，令 y1，得 n(2,1,2)， 设 D1C1与平面 A1BC1所成角为 ，则 sin|cos，n| . 15.已知圆 C1：x2y24ax4a240 和圆 C2：x2y22byb210 只有一条公切线，若 a，bR 且 ab0，则的最小值为_ 【答案】9 【解析】 【分析】
15、圆 C1、C2只有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，由此可以得到 a、b 的等量关系，然后利用均值不等式求 的最小值 【详解】圆 C1：x2y24ax4a240 标准方程： 圆 C2：x2y22byb210 标准方程： 因为圆 C1 、C2内切， 所以, 即， （）= = 当且仅当时等号成立. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系和均值不等式求最值；两圆位置关系有：内含、内切、相交、外切、外离， 圆与圆的位置关系也决定了切线的条数，两圆相内切只有一条切线，圆心距和两圆半径的关系是解题的关键， 利用该关系可以构造出均值不等式所需要的等式；均值不等式求最值要注意：一正二定三相等. 16.平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCDm，平面 ABB1A1n，则 m、n 所成角的正弦值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 画出题目描述的图形，判断直线 m、n 的所成的角，通过解三角形即可. 【详解】如图: 平面 CB1D1, 平面 ABCD=m, 平面 ABA1B1=n, 可知:m/CD1,m/B1D1, 因为CB1D1是正三角形. 所以 m、n 所成角就是CD1B1=60 则 m、m 所成角的正弦值为: 故选:A 【点睛】本题
