《2019高考数学压轴解答题(一)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高考数学压轴解答题(一)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、压轴解答题(一)1.已知抛物线C:x2=2py(p0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.2.已知函数f(x)=x-1-aln x(aR),g(x)=1x.(1)当a=-2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)若a0,且对任意x1,x2(0,1,都有|f(x1)-f(x2)|0).(1)证明:k-12;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:|FA|,|FP|,|FB|成等差数列,并求该数列的公差.4.
2、已知函数f(x)=mlnxx+n,g(x)=x2f(x)-1x-a2(m,n,aR),且曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=x-1.(1)求实数m,n的值及函数f(x)的最大值;(2)当a-e,1e时,记函数g(x)的最小值为b,求b的取值范围.答案全解全析1.解析由题意可知,直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:y=kx+1(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.(1)由x2=2py得y=x22p,对y=x22p求导得y=xp,则抛物线C在A,B处的切线斜率的乘积为
3、x1x2p2=-2p,点N在以AB为直径的圆上,ANBN,-2p=-1,p=2.(2)易得直线AN:y-y1=x1p(x-x1),直线BN:y-y2=x2p(x-x2),联立,得y-y1=x1p(x-x1),y-y2=x2p(x-x2),结合,解得x=pk,y=-1,即N(pk,-1).|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k24p2k2+8p,点N到直线AB的距离d=|kxN+1-yN|1+k2=|pk2+2|1+k2,则SABN=12|AB|d=p(pk2+2)322p,当k=0时,取等号.ABN的面积的最小值为4,22p=4,p=2,故抛物线C的方程
4、为x2=4y.2.解析(1)当a=-2时,f(x)=x-1+2ln x,则f (x)=1+2x,f(1)=0,切线的斜率k=f (1)=3,故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0.(2)对x(0,1,当a0,f(x)在(0,1上单调递增,易知g(x)=1x在(0,1上单调递减,不妨设x1,x2(0,1,且x1x2,则f(x1)g(x2),f(x2)-f(x1)f(x2)+4x2.令h(x)=f(x)+4x,则当x1h(x2),h(x)在(0,1上单调递减,h(x)=1-ax-4x2=x2-ax-4x20在(0,1上恒成立,x2-ax-40在(0,1上恒成立,等价于ax-4x在
5、(0,1上恒成立,只需ax-4xmax.y=x-4x在(0,1上单调递增,ymax=-3,-3a0,故实数a的取值范围为-3,0).3.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y123=1,x224+y223=1.两式相减,并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0.由题设知x1+x22=1,y1+y22=m,于是k=-34m.由题设得0m32,故k-12.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),由FP+FA+FB=0,得(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=-(x1-1+x2-1)+1=1
6、,y3=-(y1+y2)=-2m0.又点P在C上,所以m=34,从而P1,-32,|FP|=32.于是|FA|=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+31-x124=2-x12.同理,|FB|=2-x22.所以|FA|+|FB|=4-12(x1+x2)=3.故2|FP|=|FA|+|FB|,即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|=|FB|-|FA|=12|x1-x2|=12(x1+x2)2-4x1x2.将m=34代入得k=-1.所以l的方程为y=-x+74,代入C的方程,并整理得7x2-14x+14=0.故x1+x2=2,x1x2=128,代入解得|d|=3
7、2128.所以该数列的公差为32128或-32128.4.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f (x)=m(1-lnx)x2,因为f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y=x-1,所以f (1)=m=1,f(1)=mln11+n=0,解得m=1,n=0.所以f(x)=lnxx,f (x)=1-lnxx2.令f (x)=0,得x=e,当0x0,f(x)单调递增;当xe时,f (x)0得x1,由g(x)0得0x1,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,g(x)的最小值b=g(1)=-1.当a(-e,0)时,由(1)知方程lnxx-a=0有唯一实根,又f1e=-e,f(1)=0,f(x)在1e,1上单调递增,所以存在t1e,1,使得g(t)=0,即ln t=at.当x(0,t)时,g(x)0,所以g(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+)上单调递增,g(x)的最小值b=g(t)=tln t-a2t2-t=tlnt2-t,令h(t)=tlnt2-t,t1e,1,则h(t)=lnt-120,所以h(t)在1e,1上单调递减,从而b=h(t)-1,-32e.综上所述,当a(-e,0时,b-1,-32e;当a0,1e时,b不存在.
