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1、第1讲 等差数列、等比数列的基本问题,高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.,真 题 感 悟,1.(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案 C,2.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3
2、盏 C.5盏 D.9盏,答案 B,考 点 整 合,热点一 等差、等比数列的基本运算,答案 (1)B (2)64,探究提高 1.第(2)题求解的思路是：先利用等比数列的通项公式构建首项a1与公比q的方程组，求出a1，q，得到an的通项公式，再将a1a2an表示为n的函数，进而求最大值. 2.等差(比)数列基本运算的解题途径： (1)设基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.,答案 (1)1 (2)B,热点二 等差(比)数列的性质 【例2】 (1)(2017汉中模拟)已知等比数列an的前n项积为Tn，若l
3、og2a2log2a82，则T9的值为( ) A.512 B.512 C.1 024 D.1 024 (2)(2017北京海淀区质检)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an2，若数列bn满足bn10log2an，则使数列bn的前n项和取最大值时的n的值为_.,解析 (1)由log2a2log2a82，得log2(a2a8)2，所以a2a84，则a52， 等比数列an的前9项积为T9a1a2a8a9(a5)9512.,(2)Sn2an2，n1时，a12a12，解得a12. 当n2时，anSnSn12an2(2an12)， an2an1. 数列an是公比与首项都为2的等比数列，an2n.
4、bn10log2an10n. 由bn10n0，解得n10. 使数列bn的前n项和取最大值时的n的值为9或10. 答案 (1)A (2)9或10,探究提高 1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解. 2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.,【训练2】 (1)设等差数列an的公差为d，若数列2a1an为递减数列，则( ) A.d0 B.d0 D.a1d0 (2)(2017开封质检)设等比数列an的前n项和为Sn，若Sm15，Sm11，Sm121，则m等于( ) A
5、.3 B.4 C.5 D.6,解析 (1)因为数列2a1an为递减数列， 所以2a1an2a1an1，则a1ana1an1， a1(anan1)0，从而a1d0.,答案 (1)D (2)C,热点三 等差(比)数列的判断与证明 【例3】 (2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数. (1)证明：an2an； (2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.,(1)证明 由题设，anan1Sn1， 知an1an2Sn11， 得：an1(an2an)an1. an10，an2an.,(2)解 由题设可求a21，a31， 令2a2a1a3，解得4，故a
6、n2an4. 由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3； a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1. 所以an2n1，an1an2. 因此存在4，使得数列an为等差数列.,【迁移探究1】 若把本例题的条件a11变为a12，求解问题(2).,【迁移探究2】 在本例题(2)中是否存在，使得an为等比数列？并说明理由.,【训练3】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S22，S36. (1)求an的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列.,热点四 等差数列与等比数列的综合问题 【例4】 已知等差数列an的公差为1，且a2a
7、7a126. (1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn； (2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围.,探究提高 1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便. 2.数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.,1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.,
