黑龙江省2019届高三上学期期末考试数学（理）试题（精品解析）

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1、牡一中牡一中 20162016 级高三上学期期末考试级高三上学期期末考试 理科数学试题理科数学试题 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有个小题，每小题个小题，每小题 分，共分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一项是分，在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。 ） 1.设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 集合，由此能求出，得到结果. 【详解】因为集合， 所以， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关补集及其运算的问题，属于简单题目. 2.在等差数列an中，已知 a4a816，则该数列前 11 项和 S11（ ） A. 58

2、 B. 88 C. 143 D. 176 【答案】B 【解析】 试题分析：等差数列前 n 项和公式， 考点：数列前 n 项和公式 3.下列函数中，值域是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先对选项中的函数逐一分析，来确定函数的值域，从而求得结果. 【详解】A，因为，所以， 所以，即，所以不正确； B，分析可得，即，所以不正确； D，即，所以不正确； 只有 C 项函数的值域为， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于简单题目. 4.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 几何体为一个四

3、棱锥,其中高为 2,底面为边长为 2 的正方形,因此体积为 ,选 D. 5.设均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 ,所以充分性成立; ,所以必要性不成立,因此选 A. 6.已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 ，直线 l 满足 l m，l n，l则 （ ） A. 且 B. 且 C. 与 相交，且交线垂直于 D. 与 相交，且交线平行于 【答案】D 【解析】 试题分析：由平面 ，直线 满足，且，所以，又平面 ，所以，由直线为异 面直线，且平面平面 ，则 与 相交，否则，若则推出，与异面

4、矛盾，所以相交，且交 线平行于 ，故选 D 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论 7.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x2xb(b 为常数)，则 f(1)( ) A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 解：f（x）是定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数） ， f（0）=1+b=0， 解得 b=-1 f（x）=2x+2x-1 当 x0 时，-f（x）=2-x+2（-x）-1， f（x）=-2-x+2x+1， f（-1）=-2-2+1=-3 故答案为：-3 8.若过点总可以作两条直线和圆相切，

5、则实数 的取值范围是( ) A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于 0，列出关于 k 的不等式，求出不等 式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关 系式，让其大于 0 列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数 k 的取值范围. 【详解】把圆的方程化为标准方程可得， 所以，解得， 又点应在已知圆的外部， 把点的坐标代入圆的方程得：， 即，解得或， 则实数 k 的取值范围是， 故选 A. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的

6、位置关系，点与圆的位置关系，通过某点有两条圆的切线，可以断定点 在圆外，从而得到 k 所满足的不等式，求解即可得结果，属于简单题目. 9.设是上的奇函数，且，下面关于的判定：其中正确命题的个数为( ) ； 是以 4 为周期的函数； 的图象关于对称； 的图象关于对称 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 运用函数的奇偶性定义，周期性定义，求出正确，再根据对称性判断正确. 【详解】因为是上的奇函数， 所以， 因为，所以 即是已为周期的周期函数， 因为， 令，则，所以， 所以的图象关于对称， 故正确的命题是，所以有三个， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关抽象函数

7、的性质的问题，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的对称性，正确理 解题意是解题的关键. 10.设满足约束条件，且，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数 表示可行域内的点到的连线的斜率，其斜率的最小值为 最大值为，所以 的取值范围是，故选 D. 考点：简单的线性规划. 【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这 是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、 “距离型”和“斜率型”，本题中通过吧 目标函数变形可知其表示可

8、行域内的点到点连线斜率的 倍在加上 ，这样问题就转化为求可 行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了. 11.已知都是定义在 上的函数，且（且） ， ，若数列的前 项和大于，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：，即 ， 所以数列为等比数列，所以有，即，所以 的最小值为 ，故选 A 考点：构造函数，数列求和 12.已知函数，（其中 为正整数， ） ，则的零点个数为 （ ） A. B. C. D. 与 有关 【答案】C 【解析】 【分析】 函数零点的个数等于方程解的个数，设，利 用导数研究两个函数的单调性与交点个数，即可求出答案. 【

9、详解】函数，（其中 为正整数， ）零点个数是方程 解的个数， 设， 因为， 所以 在上单调递减， 在上单调递增； 如图中实线所示； ，由的图象可得： 时，的图象，如图中虚线所示； 则函数共有个零点； 由函数图象的对称性可得， 当时，函数零点个数仍为个， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，注意将函数零点的个数问题转化为方程根 的个数来处理即可求得结果，注意应用导数研究函数图象的走向. 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 个小题，每小题个小题，每小题 分，共分，共分）分） 13.设复数 满足，则复数 的共轭复数为_ 【答案】2+i 【解析】 【分析】

10、 由，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则复数 z 的共轭复数 可求. 【详解】由，得， 则复数 的共轭复数， 故答案是. 【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，共轭复数的概念，属于简单 题目. 14.在中，已知, 为的中点，则向量在方向上的投影为_ . 【答案】 【解析】 【分析】 运用余弦定理可求得 BC，运用勾股定理逆定理，可得，再由共线向量和向量的投影 可得向量在方向上的投影为，计算可得. 【详解】在中，已知， 由余弦定理可得：， 即有， 由，可得， 因为 D 为中点，可得， 即有向量在方向上的投影为： ， 故答案是：. 【点睛】该题考查

11、的是有关向量在另一个向量方向上的投影的问题，涉及到的知识点有余弦定理，投影公式， 属于简单题目. 15.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数 的最小值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 先将不等式恒成立转化为左边函数的最小值大于等于 4 恒成立，将不等式的左边展开，利用基本不等式求出最 小值，令最小值大于等于 4，解不等式求出 的范围，得出 的最小值. 【详解】因为对任意正实数恒成立， 又因为， 所以，解得， 所以正实数 的最小值为 1. 【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有应用基本不等式求最值， 属于简单题目. 16.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，

12、且， 是它们的一个公共点，分别为椭圆和双曲线的离心 率。若满足,则面积的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据点 P 是椭圆与双曲线的交点，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，根据题中 所给的条件，得到，根据椭圆和双曲线的定义，求得，应用余弦定 理，求出的值，从而求得角的大小，利用基本不等式求得，利用三角形的面积 公式求得最后的结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 由题意可得，设 P 在第一象限， 则有， 整理得， 由余弦定理可得，从而可求得， 所以，由可得， 从而可得， 而面积， 所以面积的取值范围是. 【点睛】该题考查的是有关椭圆或双曲线的焦点三角形的面积的问题，

13、注意在解题的过程中，涉及到的知识点 有椭圆的定义，双曲线的定义，以及其离心率，利用余弦定理解三角形，利用基本不等式求最值，属于较难题 目. 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 个小题，共个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.数列的前 项和为，且 . （1）求数列的通项 ； （2）求数列的前 项和 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由数列的前 n 项和与项之间的关系，求得结果； （2）把等比数列的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前 n 项和. 【详解】当时， 当时，上式成立， 所以； （2）令

14、， 则， ，得： 所以. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的前 n 项和求数列的通项公式的方法步骤， 应用错位相减法求和，属于中档题目. 18.已知函数 （）求的最小正周期和最小值； （）已知，求证：. 【答案】 （）T=2，最小值为-2 （）见解析 【解析】 （）f（x）=sin（x+）+cos（x-）=sin（x- ）+sin（x- ）=2sin（x- ） T=2，最小值为-2 （）cos（-）=coscos+sinsin= ，cos（+）=coscos-sinsin=- ， 两式相加得 2coscos=0， 0 ， = f（）2-2=4sin2-2=0 19.

15、在三棱柱中，, 为的中点. （1）证明：； （2）若，点在平面的射影在上，且与平面所成角的正弦值为，求三棱柱 的高. 【答案】 （1）详见解析;（2）高为 【解析】 【分析】 （1）连结交于点 E，连结 DE，得面； （2）取的中点 O，连结，因为点在面 ABC 上的摄影在 AC 上，且，所以面 ABC， 则可建立如图的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由 BC 与平面所成角的正弦 值为，即，可求得. 【详解】 （1）连结交于点 E，连结 DE，则 E 是的中点， 又 D 为的中点，所以，且面，面， 所以面； （2）取的中点 O，连结， 因为点在面 ABC 上的摄影在 AC 上，且， 所以面 ABC，可建立如图的空间直角坐标系，设， 因为， 则， ， 设为面的法向量， ，取，则， 由 BC 与平面所成角的正弦值为，即 ，解得， 所以三棱柱的高是. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，应用空间向量研究线面角的 方法，注意对点的坐标要写对. 20.已知椭圆 过点 ，两个焦点为（，0），（，0）. （1）求椭圆 的方程； （2）求以点 为中点的弦所在的直线方程，并求此时的面积. 【答案】 （1） （2）直线 的