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1、 西城区高三模拟测试 数学（理科） 2018.5第卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合，则下列结论中正确的是（A） （B）（C）（D）2若复数满足，则（A）（B）（C）（D）3下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（A）（B）（C）（D）4某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是（A） （B）（C） （D）5向量在正方形网格中的位置如图所示若向量与 共线，则实数（A）（B）（C）（D）6已知点，若椭圆上存在点，使得为等边三角形，则椭圆的离心率是（A）（B）（C）（D）7函数则
2、“”是“，使”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8在直角坐标系中，对于点，定义变换：将点变换为点，使得 其中这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线则四个函数，在坐标系内的图象，变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是（A），（B），（C），（D）， 第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知圆的参数方程为（为参数），则圆的面积为_；圆心到直线的距离为_10的展开式中的系数是_11在中，则_12设等差数列的前项和为若，则数列的通项公式可以是_13设不等式组 表示的平面区域为若直线上存在区域上的点
3、，则实数的取值范围是_ 14地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，BB，CC，DD，EA，E疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是_ 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数（）求的定义域；（）若，且，求的值16（本小题满分14分）如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）线段上是否存在点，使得平面？请说明理由17（本小题满分13
4、分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；（）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；（III）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业病从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病写出使得判断错误的概率最小的的值
5、及相应的概率（只需写出结论）18（本小题满分14分）已知直线与抛物线相切于点（）求直线的方程及点的坐标； （）设在抛物线上，为的中点过作轴的垂线，分别交抛物线和直线于，记的面积为，的面积为，证明：19（本小题满分13分）已知函数，曲线在处的切线经过点（）求实数的值；（）设，求在区间上的最大值和最小值20（本小题满分13分）数列：的各项均为整数，满足：，且，其中 （）若，写出所有满足条件的数列；（）求的值；（）证明：西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准 2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1C 2A 3D 4B 5D 6C 7A 8A 二、填空题：本大题共6
6、小题，每小题5分，共30分. 9， 10 1112（答案不唯一） 13 14D注：第9题第一空3分，第二空2分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分）解：（）因为函数的定义域是，所以的定义域为 4分（） 5分 6分 7分 8分 由，得 9分 因为 ，所以， 10分 所以 ，或 11分 解得 ，或（舍去） 13分16（本小题满分14分）解：（）因为 ，且， 所以 四边形为平行四边形，所以 2分 因为 平面， 3分所以 平面 4分（）在平面内，过作因为 平面平面，平面平面，又 平面，所以 平面，所以 ， 如图建立空间直角坐标系 5
7、分由题意得，所以 ，设平面的法向量为， 则 即 令，则，所以 7分平面的一个法向量为 ， 8分则 所以 二面角的余弦值 10分（）线段上不存在点，使得平面，理由如下： 11分解法一：设平面的法向量为， 则 即 令，则，所以 13分因为 ，所以 平面与平面不可能垂直，从而线段上不存在点，使得平面 14分解法二：线段上不存在点，使得平面，理由如下： 11分假设线段上存在点，使得平面，设 ，其中设 ，则有，所以 ，从而 ，所以 13分因为 平面，所以 所以有 ，因为 上述方程组无解，所以假设不成立所以 线段上不存在点，使得平面 14分17（本小题满分13分）解：（）根据分层抽样原则，容量为100的样
8、本中，患病者的人数为人 2分， 4分（）指标检测数据为4的样本中，有患病者人，未患病者人 6分设事件A为“从中随机选择2人，其中有患病者”则 ， 8分所以 9分（）使得判断错误的概率最小的 11分 当时，判断错误的概率为 13分18（本小题满分14分）解：（）由 得 2分依题意，有，且解得 3分 所以直线的方程为 4分 将 代入，解得 ， 所以点的坐标为 5分（）设 ， 则 ，所以 7分依题意，将直线 分别代入抛物线与直线，得 ， 8分因为 ， 10分 ， 12分所以 13分又 为中点，所以两点到直线的距离相等， 所以 14分19（本小题满分13分）解：（）的导函数为， 2分所以依题意，有 ， 即 ， 4分解得 5分（）由（）得当时，所以，故单调递增；当时，所以，故单调递减所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减 8分因为 ， 所以 最大值为 9分设 ，其中 10分则 ，故 在区间上单调递增 11分所以 ， 即 ， 12分故 最小值为 13分20
