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1、2018-2019 学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期中数学学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期中数学 试卷（理科）试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.已知直线 m，l，平面 ，且 m，l，给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若，则B. 若，则 / / C. 若，则D. 若，则 / 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 A1B 所成角的 余弦值为（ ） A. B. C. D. 2 6 2 6 2 12 2 12 3.已知一个三棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一 个直角边长为 1
2、的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 26 2 1 3 2 2 4.（+ ）n展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ） 2 A. 360B. 180C. 90D. 60 5.如图，在三棱锥 A-BCD 中，侧面 ABD底面 BCD，BCCD，AB=AD=2，BD=2，则直线 AC 与 33 底面 BCD 所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 30 45 60 90 第 2 页，共 22 页 6.用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中比 4000 大的偶数共 有（ ）个 A. 120B. 96C. 6
3、0D. 72 7.将编号为 1，2，3，4，5，6 的 6 个小球全部放入编号为 1，2，3，4，5，6 的 6 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好有 2 个小球的标号与盒子的编号相同，则不 同的放法种数为（ ） A. 180B. 135C. 90D. 45 8.在新一轮的素质教育要求下，哈六中在高一开展了选课走班的活动，已知哈六中 提供了 3 门选修课供高一学生选择，现有 5 名同学参加学校选课走班的活动，要 求这 5 名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则这 5 同学选课的种数为 （ ） A. 150B. 180C. 240D. 540 9.设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x
4、+2）+a2（x+2）2+a11（x+2）11，则 a0+a1+a2+a11的值为（ ） A. B. C. 1D. 2 2 1 10. 中国诗词大会节目组决定把将进酒、山居秋暝、望岳、送杜 少府之任蜀州和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求将进酒与望岳 相邻，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州 不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）种 A. 72B. 48C. 36D. 24 11. 设 A，B，C，D 是同一个半径为 2 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且面 积为，则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为（ ） 9 4 3 A. B. C. D. 27 4
5、3 9 4 3 9 3 3 4 3 12. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长 为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形， 则此四面体的四个面中面积最大的为（ ） A. 2 2 B. 4 C. 2 3 D. 2 6 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 某地试行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化 学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科若要求考生物理、化学、生物三 科中至少选一科，政治、历史、地理三科中至少选一科，则考生共有_种选 考方法（用数字作答） 14. 已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 夹角的余弦值为，
6、SA 与圆锥底面所成角为 15 4 60，若SAB 的面积为 2，则该圆锥的体积为_ 15. 我国古代数学名著九章算术对立体几何有深入的研究， 从其中一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是 直角三角形的三棱锥某“鳖臑”的三视图（图中网格纸 上每个小正方形的边长为 1）如图所示，已知几何体高为 2 ，则该几何体外接球的表面积为_ 2 16. 边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折成三棱锥 A-BCD，使 AC=1，给 出下列四个结论 （1）BDAC； （2）三棱锥 A-BCD 的体积为； 14 6 （3）AB 与平面 BCD 所成的角的正弦值为； 14 4 （4）三棱锥 A-
7、BCD 的外接球的表面积为 8 则正确结论的序号为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，CAA1=60，AA1=2AC，BC平面 AA1C1C （1）证明：A1CAB； （2）设 BC=AC=2，求三棱锥 C-A1BC1的体积 第 4 页，共 22 页 18. 已知（+ ）n的展开式中偶数项二项式系数和比（1+x）2n展开式中奇数项二项 1 式系数和小 120，求： （1）（1+x）2n展开式中二项式系数最大的项； （2）设（+ ）n展开式中的常数项为 p，展开式中所有项系数的和为 q，求 1 P+q 19. 如图，在三棱柱 AB
8、C-A1B1C1中，AA1C1C 是边长为 4 的 正方形平面 ABC平面 AA1C1C，AB=3，BC=5 （1）求证：AA1平面 ABC； （2）求二面角 A1-BC1-B1的余弦值； （3）求点 C 到平面 A1BC1的距离 20. 已知几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三 角形，俯视图为直角梯形 （1）连接 B1C，若 M 为 AB 的中点，在线段 CB 上是否存在一点 P，使得 MP平 面 CNB1？若存在，求出 BP 的长；若不存在，请说明理由 （2）求二面角 C-NB1-C1的余弦值 21. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，ABC
9、 是边长为 2 的等边三角形，直 线 PB 与底面 ABCD 所成的角为 45，PA=2CD，PD=，E 是棱 PD 的中点 7 （1）求证：CDAE； （2）在棱 PB 上是否存在一点 T，使得平面 ATE 与平面 APB 所成锐二面角的余弦 值为？若存在，请指出 T 的位置；若不存在，请说明理由 10 5 第 6 页，共 22 页 22. 设过点 P（x，y）的直线分别与 x 轴和 y 轴交于 A，B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴 对称，O 为坐标原点，若=2且=3 （1）求点 P 的轨迹 M 的方程； （2）若过 E（1，0）作两条互相垂直的直线，它们分别交轨迹 M 于点 A，C
10、 和 B，D，求四边形 ABCD 面积的最大值和最小值 答案和解析答案和解析 1.【答案】A 【解析】 解：由直线 m，l，平面 ，且 m，l，知： 若 ，则 m，ml，故 A 正确； 若 ，则 m 与 l 平行、相交或异面，故 B 不正确； 若 ml，则 或 与 相交，故 C 不正确； 若 ml，则 或 与 相交，故 D 不正确 故选：A 利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系进行判断 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中直线 与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的灵活运用 2.【答案】A 【解析】 解：如图所示，建立空间直角坐标系设 AB=
11、2 B（0，0，0），A（0，2，0），E（2，0，1），A1（0，2，2） =（0，2，2），=（2，-2，1） cos=- 异面直线 AE 与 A1B 所成角的余弦值为 故选：A 如图所示，建立空间直角坐标系设 AB=2利用向量夹角计算公式 cos =即可得出 第 8 页，共 22 页 本题考查了向量夹角计算公式、数量积运算性质、异面直线所成的角，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题 3.【答案】A 【解析】 解：斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为 1 的等腰直 角三角形， 三棱锥的底面积为=， 三棱锥的高为 3， 三棱锥的体积为：=， 故选：A 求出三棱锥的底面面积，然
12、后求出三棱锥的体积 本题考查空间几何体的直观图，考查三棱锥的体积，比较基础 4.【答案】D 【解析】 解：（+）n展开式中只有第四项的二项式系数最大，即最大，故 n=6 故（+）n=（+）6展开式的通项公式为 Tr+1=2r，令 6-3r=0， 求得 r=2，可得展开式的常数项是4=60， 故选：D 由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于零，求得 r 的值，可得展开式的常数项 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性 质，属于基础题 5.【答案】C 【解析】 解：取 BD 中点 O，连结 AO、CO， 在三棱锥 A-B
13、CD 中，侧面 ABD底面 BCD，BCCD，AB=AD=2，BD=2， AO面 BCD，AO=3，CO=， ACO 是直线 AC 与底面 BCD 所成角， tanACO=， ACO=60 直线 AC 与底面 BCD 所成角的大小为 60 故选：C 取 BD 中点 O，连结 AO、CO，则 AO面 BCD，AO=3，CO=，从而ACO 是直线 AC 与底面 BCD 所成角，由此能求出直线 AC 与底面 BCD 所成角的 大小 本题考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 6.【答案】C 【解析】 解：当千位数字是 5 时， 个位数字
14、是 0，2，4 中的一个，有 3 种选择， 当万位数字是 5 的没有重复数字的四位偶数有：=36 个； 当千位数字是 4 时， 个位数字是 0，4 中的一个，有 2 种选择， 当万位数字是 5 的没有重复数字的四位偶数有：=24 个 用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数， 其中比 4000 大的偶数共有：36+24=60 个 故选：C 当千位数字是 5 时，个位数字是 0，2，4 中的一个，有 3 种选择；当千位数字 第 10 页，共 22 页 是 4 时，个位数字是 0，4 中的一个，有 2 种选择，由此能求出用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中
15、比 4000 大的偶数的个数 本题考查满足条件的偶数个数的求法，考查排列组合的性质等基础知识，考 查运算求解能力，是中档题 7.【答案】C 【解析】 解：根据题意，有且只有 2 个盒子的编号与放入的小球编号相同， 在六个盒子中任选 2 个，放入与其编号相同的小球，有 C62=15 种选法， 剩下的 4 个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这 3 个盒子的编号为 3，4、5、6， 则 3 号小球可以放进 4，5、6 号盒子，有 3 种选法， 剩下的 3 个小球放进剩下的 3 个盒子，有 2 种选法， 则每个盒内放一个球，恰好有 2 个小球的标号与盒子的编号相同， 则不同的放法种数为：1532=90 种放法 故选：C 根据题意，分 2 步进行分析：、在六个盒子中任选 2 个，放入与其编号相同 的小球，由组合数公式可得放法数目，、假设剩下的 4 个盒子的编号为 3，4、5、6，依次分析 3，4、5、6 号小球的放法数目即可；进而由分步计数原理 计算可得答案 本题考查排列、组合的综合应用，关键是编号与放入的小球编号不相同的情 况数目的分析，考查运算求解能力，是
