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1、第 6 课时 二次函数的综合应用 命题点 1 二次函数实际应用 1. (2018 巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线 运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮框内，已知 篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( ) A. 此抛物线的解析式是 y x23.5 1 5 B. 篮圈中心的坐标是(4，3.05) C.此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D.篮球出手时离地面的高度是 2 m 第 1 题图 2. (2018 安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉
2、各 50 盆，售后统计，盆景 的平均每盆利润是 160 元，花卉的平均每盆利润是 19 元，调研发现： 盆景每增加 1 盆，盆景的平均每盆利润减少 2 元，每减少 1 盆，盆景的平均每盆利润增 加 2 元； 花卉的平均每盆利润始终不变； 小明计划第二期培植盆景与花卉共 100 盆，设培植的盆景比第一期增加 x 盆，第二期盆景 与花卉售完后的利润分别为 W1，W2(单位：元) (1)用含 x 的代数式表示 W1，W2； (2)当 x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 W 最大，最大总利润是多 少？ 3. (2018 巴彦淖尔改编)工人师傅用一块长为 12 分米，宽为 8 分米的
3、矩形铁皮制作一个无盖 长方体容器，如图所示，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计) (1)若长方体底面面积为 32 平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？ (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 5 倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防 锈处理，侧面每平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元，求裁掉的正方 形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？ 第 3 题图 命题点 2 二次函数与几何图形综合题 4. (2018 自贡)如图，抛物线 yax2bx3 过点 A(1，0)，B(3，0)，直线 AD 交抛物线于 点 D，点 D 的横坐标为2，点 P(m，n)是线段
4、AD 上的动点 (1)求直线 AD 及抛物线的解析式； (2)过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为 何值时，PQ 最长？ (3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使以 P、Q、D、R 四点为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由 第 4 题图 5. (2018 怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax22xc 与 x 轴交于 A(1，0)， B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点 (1)求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式； (2)请在 y 轴上
5、找一点 M，使BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标； (3)试探究：在抛物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是 直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 6. (2018 锦州)在平面直角坐标系中，直线 y x2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二 1 2 次函数 y x2bxc 的图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A，动点 D 在直线 1 2 BC 下方的二次函数图象上 (1)求二次函数的表达式； (2)如图，连接 DC，DB，设BCD 的面积为 S，求 S 的最大值； (3)如图，过点 D
6、作 DMBC 于点 M，是否存在点 D，使得CDM 中的某个角恰好等于 ABC 的 2 倍？若存在，直接写出点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由 第 6 题图 7. (2018 十堰)已知抛物线 y x2bxc 经过点 A(2，0)，B(0，4)，与 x 轴交于另一点 1 2 C，连接 BC. (1)求抛物线的解析式； (2)如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且 SPBOSPBC，求证：APBC； (3)在抛物线上是否存在点 D，直线 BD 交 x 轴于点 E, 使ABE 与以 A，B，C，E 中的三 点为顶点的三角形相似(不重合)？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 答案
7、答案 1. A 2. (1)W12x260x8000， W219x950; (2)当 x10 时，总利润 W 最大，最大总利润是 9160 元 3. (1)裁掉的正方形边长为 2 分米； (2)当裁掉的正方形边长为 3.5 分米时，总费用最低，最低为 31 元 4. (1)直线 AD 的解析式为 yx1，抛物线的解析式为 yx22x3； (2)P(m，n)在线段 AD 上， 点 P 的坐标为(m，m1)， 点 Q 的坐标为(m，m22m3)， lm1(m22m3)m2m2(m )2 (2m1)， 1 2 9 4 10，当 m 时，l 有最大值，最大值为 ； 1 2 9 4 (3)存在，点 R
8、的坐标为(2，2)或(2，4)或(2，1)或(2，5)或(0，3) 或(2，1) 5. (1)抛物线的解析式为 yx22x3， 直线 AC 的解析式为 y3x3； (2)yx22x3(x1)24， 顶点 D(1，4)， 点 D 关于 y 轴的对称点 E 的坐标为(1，4)， 如解图，连接 BE 与 y 轴交于点 M，此时BDM 的周长最小， 设直线 BE 的解析式为 ymxn(m0)，将点 B(3，0)，E(1，4)代入得 ，解得， 4mn 03mn) m1 n3 ) 直线 BE 的解析式为 yx3， 当 x0 时，y3， 点 M 的坐标为(0，3)，此时点 M 与点 C 重合； 第 5 题解
9、图 (3)在抛物线上存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角 形 如解图，当点 A 为直角顶点时，设直线 AP 与 y 轴的交点为 Q，则 AOQCAQ90， AQOOAQAQCACQ， QAOACO， AOQCOA， ，即 ， OQ OA OA OC OQ 1 1 3 OQ ， 1 3 Q(0， )， 1 3 易求得直线 AQ 的解析式为 y x ， 1 3 1 3 联立， y1 3x 1 3 yx22x3) 解得(与点 A 重合，舍去)， x11 y10 ) x210 3 y213 9 ) 点 P 的坐标为(，)； 10 3 13 9 第 5 题解图 第 5
10、 题解图 如解图，当点 C 为直角顶点时，过点 P 作 PKy 轴于点 K， PCKACOACOCAO， PCKCAO， 又PKCCOA， PCKCAO， ， PK CO CK AO 设 P(t，t22t3)，则 PKt， CK3(t22t3)t22t， ， t 3 t22t 1 解得 t10(为点 C 的横坐标，舍去)或 t2 ， 7 3 点 P 的坐标为( ，)； 7 3 20 9 综上，在抛物线上存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角 三角形，点 P 的坐标为(，)或( ，) 10 3 13 9 7 3 20 9 6. (1)二次函数的表达式为 y x2 x
11、2； 1 2 3 2 (2)S 的最大值为 4； (3)存在，满足条件的点 D 的横坐标为 2 或. 29 11 7. (1)抛物线的解析式为 y x2x4； 1 2 (2)证明：令 y0，则 x2x40， 1 2 解得 x12，x24，C(4，0)， 设 P(x， x2x4)，则 SPBO OBxP 4x2x， 1 2 1 2 1 2 S四边形 POBC SBOC SPOC OBOC OCyP 1 2 1 2 44 4( x2x4) 1 2 1 2 1 2 8x22x8 x22x， SPBO SPBC， S四边形 POBC 2SPBO， x22x4x， 解得 x10(舍去)，x26， P(6
12、，8)， 如解图，过 P 作 PMx 轴于点 M， 则 OM6，PM8，AM8， tanPAC 1， PM AM 8 8 tanBCO 1， OB OC 4 4 PACBCO45， APBC； 第 7 题解图 (3)存在 由题意易得，当ABE 与以 A，B，C，E 中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三 角形：ABC 和BCE. 由勾股定理得 AB2， OA2OB25 当点 E 在线段 AC 上时，BAEBAC，ABEABC， ABEACB45， ABEACB，则， AE AB AB AC ， AE 2 5 2 5 6 AE， 10 3 E( ，0)， 4 3 直线 BE 的解析式为 y3x4
13、， 联立， y3x4 y1 2x2x4) 解得或(舍去)， x18 y120) x20 y24) D1(8，20)； 当点 E 在点 A 的左边时，BEABEC，当ABEBCE 时，ABE BCE，则， AE BE BE CE 设 OEa，则 AEa2，BE，CEa4， a216 ， a2 a216 a216 a4 解得 a12， E(12，0)， 直线 BE 的解析式为 y x4. 1 3 联立，解得或(舍去)，D2( ，)； y1 3x4 y1 2x2x4) x14 3 y140 9 ) x20 y24) 4 3 40 9 当点 E 在点 C 的右边时，BCE 为钝角三角形，ABE 为锐角三角形，故不可能相 似， 当ABEACB 时，点 E 的坐标为( ，0)，不符合题意， 4 3 综上所述，点 D 的坐标为(8，20)或( ，) 4 3 40 9
