上海市徐汇区2019届高三上学期期末学习能力诊断数学试题（解析版）

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1、1 上海市徐汇区上海市徐汇区 20192019 届高三上学期期末学习能力诊断数学试题届高三上学期期末学习能力诊断数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 1.设，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 将题目所给两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定充分、必要性，由此得出正确选项. 【详解】当“”时， “”成立；当“”时， 可以为，即不能推出“” ，故应选充 分不必要条件，所以选 A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考

2、查特殊角的三角函数值以及终边相同的角.属于基础题. 2.魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几 何体为“牟合方盖” ，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ： 若正方 体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为 A. 16B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积 【详解】正方体的棱长为 2，则其内切球的半径， 正方体的内切球的体积， 又由已知， 故选：C 【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题 3.对于函数，如果其图象上的任意一

3、点都在平面区域内，则称函数为 “蝶型函数” ，已知函数：；，下列结论正确的是 A. 、均不是“蝶型函数” 2 B. 、均是“蝶型函数” C. 是“蝶型函数” ；不是“蝶型函数” D. 不是“蝶型函数”：是“蝶型函数” 【答案】B 【解析】 【分析】 由，求得导数判断单调性，结合“蝶型函数”可判断； 由平方差公式，化简结合“蝶型函数”可判断 【详解】由，设，导数为，即有，；时，； 设，其导数为，时，时， 可得恒成立，即有为“蝶型函数”； 由，可得为“蝶型函数” 故选：B 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，以及运算能力，属于中档题 4.已知数列是公差不为 0 的等差数列

4、，前 n 项和为，若对任意的，都有，则的值不可 能为 A. 2B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数数列前 n 项和公式推导出，由此能求出的值不可能为 【详解】数列是公差不为 0 的等差数列，前 n 项和为，对任意的，都有， ， ， 当时，成立； 3 当时，成立； 当时，成立； 当时，不成立 的值不可能为 故选：D 【点睛】本题考查等差数列的两项比值的求法，考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化 归与转化思想，是基础题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 1212 小题，共小题，共 54.054.0 分）分） 5.若复数 满足，其中 i 是虚数单位，则

5、的实部为_ 【答案】2 【解析】 分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果. 详解：因为，则，则 的实部为 . 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为 、虚部为 、模为、对应点 为、共轭复数为. 6.已知全集，集合，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 可解出集合 A，然后进行补集的运算即可 【详解】； 故答案为： 【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，以及补集的运算 7.若实数 x，y 满足，则的最小值为_ 【答案】 【解析】 4 【分析】 根据基本不等式可得 【详解】， 当且仅当时，取等 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题 8.若数

6、列的通项公式为，则_ 【答案】-1 【解析】 【分析】 利用行列式求出数列的通项公式，然后利用数列的极限求解即可 【详解】数列的通项公式为， 则 故答案为： 【点睛】本题考查数列的极限的求法，通项公式的求法，考查计算能力 9.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同， 则双曲线的方程是_ 【答案】 【解析】 分析：利用双曲线的渐近线的方程可得2，再利用抛物线的焦点抛物线 y220x 的焦点相同即可得出 c， 即可求得结论. 详解：由题得2，c=5，再由得故双曲线的方程是. 点睛：熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键属于基础题. 10.在平面直角坐标系 xOy 中，直线经

7、过坐标原点，是 的一个法向量已知数列满足：对任意的 正整数 n，点均在 上，若，则的值为_ 【答案】-2 5 【解析】 【分析】 由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得，则数列为公比 q 为的等比数列，运 用等比数列的通项公式可得所求值 【详解】直线经过坐标原点，是 的一个法向量， 可得直线 的斜率为， 即有直线 的方程为， 点均在 上，可得， 即有， 则数列为公比 q 为的等比数列， 可得 故答案为： 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础 题 11.已知的展开式中各项的二项式系数之和为 128，则其展开式中含 项的系数是_ 结果

8、用数值表示 【答案】-84 【解析】 【分析】 由已知求得 n，写出二项展开式的通项，由 x 的指数为求得 r，则答案可求 【详解】由题意，得 ， 其二项展开式的通项 由，得 展开式中含 项的系数是 故答案为： 【点睛】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题 12.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表所示： 6 等级 ABCDE 分数 7067646158555249464340 上海某高中 2018 届高三班选考物理学业水平等级考的学生中，有 5 人取得成绩，其他人的成绩至少 是 B 级及以上，平均分是 64 分，这个班级选考物理学业水平等

9、级考的人数至少为_人 【答案】15 【解析】 【分析】 可设取得 A 成绩的 x 人，取得成绩的 y 人，取得 B 成绩的 z 人，由题意可得： ，解得：，又 x，y，故当且仅当， ，时，取得最小值 15，故得解 【详解】设取得 A 成绩的 x 人，取得成绩的 y 人，取得 B 成绩的 z 人， 则， 即， 又 x，y， 即当且仅当，时，取得最小值 15， 取得 A 成绩的 0 人，取得成绩的 0 人，取得 B 成绩的 10 人， 这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为 15 人， 故答案为：15 【点睛】本题考查了实际问题通过数学问题解决，考查了阅读理解及数学建模的能力，属中档题 13.

10、已知函数是以 2 为周期的偶函数，当时，令函数，则 的反函数为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先根据偶函数性质求出上的解析式，再根据周期为 2 求出上的解析式，最后求出反函数 【详解】当时， 当时， ， ， 7 故答案为：， 【点睛】本题考查了反函数，考查基本分析求解能力，属基础题 14.若函数 的值域是，则的最大值是_ 【答案】 【解析】 令，可得或者 ， 的值为 两个相邻的 值相差 ， 因为函数 的值域是,所以的最大值是 ，故答案为. 15.已知 R，函数f（x）=，若函数y=f（x）的图象与x轴恰有两交点，则实数 的取值 范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用分段函数转化求解不等

11、式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可 【详解】函数的草图如图： 函数 f（x）恰有 2 个零点，则 13 或 4 故答案为：（1，3（4，+） 【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的 能力 16.已知圆 M：，圆 N：直线分别过圆心 M、N，且 与圆 M 相交于 A，B 两点， 与圆 N 相交于 C，D 两点，点 P 是椭圆上任意一点，则的最小值为_ 【答案】8 【解析】 8 【分析】 由题意可知，结合 P 为椭圆上的点，可用 P 的坐标表示，然后 结合椭圆的性质即可求解 【详解】由题意可得， ， ， 为椭圆上的

12、点， 由题意可知， ， 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及求椭圆中最值问题，属于知识的简单综合应用 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题，共小题，共 76.076.0 分）分） 17.如图，已知正方体的棱长为 1 正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ 若 M，N 分别是 ，的中点，求异面直线 MN 与 BC 所成角的大小 【答案】 （1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】 利用列举法能求出直线是异面直线的棱所在直线 ，N 分别是 ，的中点，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标 系，利用向量法能求出异

13、面直线 MN 与 BC 所成角的大小 【详解】正方体中， 直线是异面直线的棱所在直线有： AD，CD，共 6 条 9 ，N 分别是，的中点， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则0，1，1， ，1，1， ，0， 设异面直线 MN 与 BC 所成角的大小为 ， 则， ， 异面直线 MN 与 BC 所成角的大小为 【点睛】本题考查异面直线的判断，考果异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题 18.已知函数，其中 解关于 x 的不等式； 求 a 的取值范围，使在区间上是单调减函数 【

14、答案】 （1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】 由题意可得，对 a 讨论，可得所求解集； 求得，由反比例函数的单调性，可得，解不等式即可得到所求范 围 10 【详解】的不等式， 即为，即为， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为，； ， 由在区间上是单调减函数， 可得， 解得 即 a 的范围是 【点睛】本题考查分式不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的单调性的判断和运用，考查 运算能力，属于基础题 19.我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧 AB，对应的圆心角 ，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧 20 海里内的海域 ABCD 对不明

15、船只进行识别查证 如图： 其中海域与陆地近似看作在同一平面内 在圆弧的两端点 A，B 分别建有监测站，A 与 B 之间的直线距离为 100 海里 求海域 ABCD 的面积； 现海上 P 点处有一艘不明船只，在 A 点测得其距 A 点 40 海里，在 B 点测得其距 B 点海里判断 这艘不明船只是否进入了海域 ABCD？请说明理由 【答案】 （1）平方海里 ； （2）这艘不明船只没进入了海域 ABCD. 【解析】 【分析】 11 利用扇环的面积公式求出海域 ABCD 的面积； 由题意建立平面直角坐标系，利用坐标求出点 P 的位置，判断点 P 是否在海域 ABCD 内 【详解】，在海岸线外侧 20 海里内的海域 ABCD， ， ， 平方海里 ， 由题意建立平面直角坐标系，如图所示； 由题意知，点 P 在圆 B 上，即， 点 P 也在圆 A 上，即； 由组成方程组， 解得或； 又区域 ABCD 内的点满足， 由， 点不在区域 ABCD 内， 由， 点也不在区域 ABCD 内； 即这艘不明船只没进入了海域 ABCD 【点睛】本题考查了圆的方程模型应用问题，是中档题 20.已知椭圆 ：的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线 l： 12 与椭圆 交于 A，B 两点 求椭圆 的方程； 若 A 为椭圆的上项点，M 为 AB 中点，O 为坐标原点，连接 OM 并延长交椭圆 于 N，求 k 的 值