《高考文科数学命题热点名师解密专题：解创新数列之匙（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考文科数学命题热点名师解密专题：解创新数列之匙（含答案）（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 专题 18 解创新数列之匙 一 【学习目标】 1会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题 2掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法 【知识要点】 1数列综合问题中应用的数学思想 (1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集 1，2，n上的函数 (2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程 (3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究 (4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等 1数列综合问题中应用的数学思想 (1)用函数的观点与思
2、想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集 1，2，n上的函数 (2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程 (3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究 (4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等 二 【方法总结】 1.数列模型应用问题的求解策略 (1)认真审题，准确理解题意. (2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、数列性质和前 n 项和公式求解，或通过 探索、归纳、构造递推数列求解. 2 (3)验证、反思结果与实际是否相符. 2.数列综合问题的求解程序 (1)数列
3、与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列理论求解. (2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征，建立数列的递推关系式，然后求解问题. 三题型典例分析 1.数列与函数的综合 例 1. 设函数 f x是定义在0,上的单调函数，且对于任意正数, x y有，已知 1 1 2 f ，若一个各项均为正数的数列 n a满足，其中 n S是数 列 n a的前n项和，则数列 n a中第 18 项 18 a（ ） A. 1 36 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】C 【方法规律总结】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n项和之间的关系以及公式 的应用，属于
4、难题.已知 n S求 n a的一般步骤：（1）当1n 时，由 11 aS求 1 a的值； （2）当2n 时，由，求得 n a的表达式；（3）检验 1 a的值是否满足（2）中的表达式，若不 3 满足则分段表示 n a；（4）写出 n a的完整表达式 练习 1. 设函数 f x是定义在0,上的单调函数，且对于任意正数, x y有，已 知 1 1 2 f ，若一个各项均为正数的数列 n a满足，其中 n S是 数列 n a的前n项和，则数列 n a中第 18 项 18 a（ ） A. 1 36 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1=f 1
5、2 an（an+1）函数 f（x）是定义域在（0，+）上的单调函数， 数列an各项为正数Sn= 1 2 an（an+1）当 n=1 时，可得 a1=1；当 n2 时，Sn-1= 1 2 an-1（an-1+1）， -可得 an= 1 2 an（an+1）- 1 2 an-1（an-1+1）（an+an-1） （an-an-1-1）=0 an0，an-an-1-1=0 即 an-an-1=1数列an为等差数列，a1=1，d=1；an=1+（n-1）1=n 即 an=n 所以 18 18a 故选 C 练习 2.已知是R上的奇函数， ，则数列 n a的通项公式为（ ） A. n an B. 2 n
6、an C. 1 n an D. 【答案】C 【解析】是奇函数，令 1 2 x ， 令 1 2 x ， ， 4 令 11 2 x n ，令 11 2 x n ， ，同理可得， ， 故选C 练习 3. 设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令 f(x)=x3+2016x,则 f(x)=3x2+20160， 所以 f(x)在 R 上单调递增,且 f(x)为奇函数。 由条件得,f( 2013 1a)=1,f( 4 1a )=1， ,从而 4 a+ 2013 a=2， 又等差数列 n a的前n项和为 n S， 所以 201
7、6 S= = =2016， 5 因为 f( 2013 1a)=1,f( 4 1a )=1,f(x)在 R 上单调递增， 所以 4 1a 2013 1a,即 4 a 2013 a， 故选：D. 练习 4. 数列 12 , n a aa是正整数1,2,n的任一排列，且同时满足以下两个条件： 1 1a ；当2n 时， (). 记这样的数列个数为 f n. （I）写出的值； （II）证明2018f不能被 4 整除. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（1）依题意，易得：；（2）把满足条件的数列称 为n项的首项最小数列.对于n个数的首项最小数列，由于 1 1a ，故 2 2a
8、或 3.分成三类情况，利用已知条 件逐一进行验证即可. 试题解析： （）解：. （）证明：把满足条件的数列称为n项的首项最小数列. 对于n个数的首项最小数列，由于 1 1a ，故 2 2a 或 3. （1）若 2 2a ，则构成1n项的首项最小数列，其个数为1f n； （2）若，则必有 4 4a ，故构成3n项的首项最小数列，其个数为 3f n； 6 （3）若 2 3,a 则 3=4 a或 3 5a . 设 1k a 是这数列中第一个出现的偶数，则前k项应该是， 1k a 是2k或22k ，即 k a与 1k a 是相邻整数. 由条件，这数列在 1k a 后的各项要么都小于它，要么都大于它，因
9、为 2 在 1k a 之后，故 1k a 后的各项都小 于它. 这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数. 综上，有递推关系：， 5n . 由此递推关系和（I）可得，各数被 4 除的余数依次为： 1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0， 它们构成 14 为周期的数列，又， 所以2018f被 4 除的余数与 2f被 4 除的余数相同，都是 1， 故2018f不能被 4 整除. 练习 1. 数列 n a定义为 1 0a ， 11 aa， * nN （1）若，求的值； （2）当0a 时，定义数列 n b，是否存在正整数, i j ij， 使得.如果存在
10、，求出一组, i j，如果不存在，说明理由. 【答案】(1)2；(2)答案见解析 【解析】试题分析： 7 (1)由题意可得，裂项求和有的值是 2； (2)结合所给的递推关系讨论可得存在一组满足题意. 试题解析： (1) 所以 故 所以 （2）由 得，两边平方 所以 当 1k ba时，由知 又，数列 n a递增，所以 21k ba 类似地， 8 又 所以 存在正整数, i j ij， 存在一组 练习 2. 在数 1 和 2 之间插入 n 个正数，使得这 n+2 个数构成递增等比数列，将这 n+2 个数的乘积记为 n A， 令 (1)数列 n a的通项公式为 n a=_； (2) =_ 【答案】
11、2 2 n ; 9 2由 1可得，又 , * nN 故答案为 练习 3. 已知两个等差数列 n a和 n b的前n项和分别为 n A和 n B，且， 5 5 a b ， n n a b 为整 数的正整数n的取值集合为 10 【答案】9； 2,3,5,11 【解析】试题分析： 由等差数列的性质和求和公式可得，可得n的取值。 试题解析： 即13n 或14n 或16n 或 n112 ,从而 n2,3,5,11,即集合为2 3511， 故 n n a b 为整数的正整数n的取值集合为2 3511， 4数学文化与数列的应用 例 4 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为 70 万
12、元，同时将受到环保部门 的处罚，第一个月罚 3 万元，以后每月增加 2 万元如果从今年一月起投资 500 万元添加回收净化设备（改 造设备时间不计） ，一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本据测算，添加回收净化设备 并投产后的前 5 个月中的累计生产净收入 g n是生产时间n个月的二次函数（k是常数） ， 且前 3 个月的累计生产净收入可达 309 万，从第 6 个月开始，每个月的生产净收入都与第 5 个月相同同时， 该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励 100 万元 （1）求前 8 个月的累计生产净收入 8g的值； 11 （2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改
13、造后的纯收入多于不改造时的纯收入 【答案】 （1）；（2）经过 9 个月投资开始见效。 【解析】试题分析: （1）根据 g（3）得到 k，再计算 g（5）和 g（5）g（4） ，而 g（8）=g（5） +3g（5）g（4），从而得到结果； （2）求出投资前后前 n 个月的总收入，列不等式解出 n 的范围即可 试题解析 （1）据题意，解得100k ， 第 5 个月的净收入为 5g万元， 所以，万元 （2） 即 要想投资开始见效，必须且只需 ， 即 当时， 即不成立； 当5n 时，即， 12 验算得， 9n 时， 所以，经过 9 个月投资开始见效。 练习 1用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格
14、为 1 150 元，购买当天先付 150 元，以后每月这一天 还款一次，每次还款数额相同，20 个月还清，月利率为 1%，按复利计算若交付 150 元后的第一个月开始 算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果 保留 4 个有效数字) 参考数据：(11%)191.208，(11%)201.220，(11%)211.232. 【答案】详见解析. 【解析】试题分析: 购买当天先付款后，所欠款数可求，用 20 个月还清，月利率为 1%，按复利计息，分期 付款的总款数，是等比数列的前 20 项和，求出可得买这件家电实际付款数，以及每个月应还款数. 试
15、题解析: 由题易得 x(11%)19x(11%)18x(11%)x1 000(11%)20， 即 x1 000(11%)20， 所以 x55.45，即每月还款 55.45 元 所以买这件家电实际付款 55.45201501 259(元)，每月还款 55.45 元 练习 2.吴敬九章算法比类大全中描述：远望魏巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶 几盏灯？ （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】设塔顶 1 a 盏灯，则，解得 1 3a 故选 C 13 练习 3. 某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中 ，记 1 OA， 2 OA， 3 OA， 8 OA的长度构成的数列为 ，则 n a的通项公式 n a _. 【答案】 n an 练习 4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”1852 年，英国来华传
