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1、课时跟踪检测（十六） 空间向量运算的坐标表示层级一学业水平达标1若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，如果a与b为共线向量，则()Ax1，y1Bx，yCx，y Dx，y解析：选C因为a与b共线，所以，所以x，y.2已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是()A0BC.D.解析：选B36363654，且|3，|6，cos，1，0，0.，.3在空间直角坐标系中，i(1,0,0)，j(0,1,0)，k(0,0,1)，则与i，j，k所成角都相等的单位向量为()A(1,1,1)B.C.D.或解析：选D设所求的单位向量为a(x，y，z)，则由与i，j，k所成角都相等得到aiaja
2、k，所以xyz，且x2y2z21，所以xyz或.4已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选C(3,4，8)，(5,1，7)，(2，3,1)，|，|，|，|2|2751489|2.ABC为直角三角形5已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，O(0,0,0)，与的夹角为120，则的值为()A B. C D解析：选C(1,0,0)，(0，1,1)，(1，)，()2，|，|.cos 120，2.又0，则_.解析：a(0，1,1)，b(4,1,0)，ab(4,1，)|ab|，16(1)2229.26
3、0.3或2.0，3.答案：37若a(x,2,2)，b(2，3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_解析：ab2x23252x4，设a，b的夹角为，因为为钝角，所以cos 0，|b|0，所以ab0，即2x40，所以x2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(，2)答案：(，2)8已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是_解析：由已知，得ba(2，t，t)(1t,1t，t)(1t,2t1,0)|ba| .当t时，|ba|的最小值为.答案：9空间三点A(1,2,3)，B(2，1,5)，C(3,2，5)，试求：(1)ABC的面积；(2)ABC的AB边上的高解：(1)因为
4、(2，1,5)(1,2,3)(1，3,2)，(2,0，8)，12(3)02(8)14，且|，|2，所以cos，sin，SABC|sin，23.(2)| |，设AB边上的高为h，则|AB|hSABC3，h3.10.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，且PCAB.求：(1)的值；(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0，1,2)，于是(，1,0)，(0，2,2)，(，1，2)因为PCAB，所以0，即()
5、0，也即()0.故.(2)由(1)知，(0,2,2)，cos，所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.层级二应试能力达标1已知两个非零向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是()A.abBa1b1a2b2a3b3Ca1b1a2b2a3b30D存在非零实数k，使akb解析：选D根据空间向量平行的充要条件，易知选D.2若A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，则|的取值范围是()A0,5B1,5C(1,5) D(0,5)解析：选B由题意知，|，1cos()1，1|5.3已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c
6、三向量共面，则实数等于()A. B.C. D.解析：选Da，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使cxayb，即(7,5，)x(2，1,3)y(1,4，2)(2xy，x4y,3x2y)，所以解得3x2y.4已知a(3,2x，x)，b(x,2,0)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是()A(，4) B(4,0)C(0,4) D(4，)解析：选Aa，b的夹角为钝角，ab0，即3x2(2x)0x4x0，x4.又当夹角为时，存在0，使ab，此方程组无解，故选A.5若ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(1,0，)，则角A的大小为_解析：由题意，知，(1,0,0)，所以|1
7、，|1.则cos A，故角A的大小为30.答案：306已知M1(2,5，3)，M2(3，2，5)，设在线段M1M2上的一点M满足4，则向量的坐标为_解析：设M(x，y，z)，则(1，7，2)，(3x，2y，5z)又4，答案：7在正方体ABCDA1B1C1D1中，O1是A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，并且B1E1B1C1，求BE1与CO1所成的角的余弦值解：不妨设AB1，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立直角坐标系，则B(1,0，0)，E1，C(1,1,0)，O1，BE1，BE1，| BE1| ，| .cosBE1，.即BE1与CO1所成角的余弦值为.8已知关于x的方程x2(t2)xt23t50有两个实根，且向量a(1,1,3)，b(1,0，2)，catb.(1)当|c|取最小值时，求t的值；(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值解：(1)关于x的方程x2(t2)xt23t50有两个实根，(t2)24(t23t5)0，即4t.又catb(1t,1,32t)，|c| .当t时，关于t的函数y52是单调递减的，当t时，|c|取最小值.(2)由(1)，知当t时，c，|b|，|c|，cosb，c.
