《2019版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率第62讲离散型随机变量的均值与方差学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率第62讲离散型随机变量的均值与方差学案（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第62讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲要求考情分析命题趋势1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题2利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2017全国卷，192016山东卷，192016福建卷，161.正态分布主要通过正态分布的密度函数图象及性质进行考查2离散型随机变量的分布列、均值、方差一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及几何分布相结合，以实际问题为背景进行考查.分值：512分1离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(
2、1)均值称E(X)_x1p1x2p2xipixnpn_为随机变量X的均值或_数学期望_，它反映了离散型随机变量取值的_平均水平_(2)方差称D(X)_(xiE(X)2pi_为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_平均偏离程度_，其算术平方根为随机变量X的_标准差_2均值与方差的性质(1)E(aXb)_aE(X)b_(a，b为常数)(2)D(aXb)_a2D(X)_(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)_p_，D(X)_p(1p)_(2)若XB(n，p)，则E(X)_np_，D(X)_np(1p)_4正态分布(1)正态曲线：函数，(x
3、)e，x(，)，其中实数和为参数(0，R)我们称函数，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质曲线位于x轴_上方_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_x_对称；曲线在_x_处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为_1_；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着_的变化沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，_越小_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；_越大_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)_，(x)dx_，则称随机变量X服从正态分布，记作_XN(，2
4、)_(4)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值P(X)_0.682_6_；P(2X2)_0.954_4_；P(3X3)_0.997_4_.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小()(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.()2某射手射击所得环数的分布列如下.78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，则y的
5、值为(A)A0.4B0.6C0.7D0.9解析 3设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为(A)A1a,4B1a,4aC1,4D1,4a解析 x1，x2，x10的均值与方差分别为1和4.i10，(xi1)240，i(xia)i10a1010a.y1，y2，y10的均值为1a.又(yi1a)2(xi1)240，y1，y2，y10的方差为4.4随机变量的取值为0,1,2.若P(0)，E()1，则D()_.解析 设P(1)x，P(2)y，则xy1，E()0x2y1，由可知x，y，D()(10)2(11)
6、2(12)2.5投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为_.解析 在投掷两枚骰子中，不含5或6的次数为44，故试验成功的概率P1，则在10次试验中成功次数的均值E()10.一离散型随机变量的均值、方差离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解(2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值(3)由已知条件，作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断【例1】 (
7、2018湖北部分重点中学起点考试)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望解析 (1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名(其中男、女各一名)都倾向于选择网购”，则P(A)
8、1P()1.(2)X所有可能的取值为0,1,2,3，且P(Xk)，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X0123PE(X)0123.【例2】 (2018安徽芜湖一模)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E()，D()，求abc.解析 (1)由题意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)
9、，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列为23456P(2)由题意知的分布列为123P所以E()，D()222.化简得解得a3c，b2c，故abc321.二均值与方差的实际应用随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定【例3】 (2018山西太原模拟)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于8
10、0且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解析 (1)依题意，得p1P(40X80)0.2，p2P(80X120)0.7，p3P(X120)0.1.由二项分布，在未来4
11、年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为pC(1p3)4C(1p3)3p34430.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以E(Y
12、)4 2000.210 0000.88 840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X80)p10.2；当80X120时，两台发电机运行，此时Y5 00028009 200，因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；当X120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总
13、利润的均值达到最大，应安装发电机2台三正态分布的应用解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率注意只有标准正态分布的对称轴才为x0.【例4】 (2017全国卷改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件
