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1、高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题教师用书 理 新人教版1(2015课标全国)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2 C. D.答案D解析如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1,0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e ，选D.2.如图，已知椭圆C的
2、中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|，且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，右焦点为F，连接PF，如图所示，因为F(2，0)为C的左焦点，所以c2.由|OP|OF|OF|知，FPF90，即FPPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|8.由椭圆定义，得|PF|PF|2a4812，所以a6，a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆的方程为1.3(2017太原质检)已知A，B分别为椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点，直线ykx(k0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的
3、面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案D解析设C(x1，y1)(x10)，D(x2，y2)，将ykx代入椭圆方程可解得x1，x2，则|CD|x1x2|.又点A(a,0)到直线ykx的距离d1，点B(0，b)到直线ykx的距离d2，所以S四边形ACBDd1|CD|d2|CD|(d1d2)|CD|ab.令t，则t212ab12ab12ab2，当且仅当a2k，即k时，tmax，所以S四边形ACBD的最大值为ab.由条件，有ab2c2，即2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，解得e2或e21(舍去)，所以e，故选D.4(2016
4、北京)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.答案2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示四边形OABC为正方形且边长为2，c|OB|2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.5已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_答案1解析由题意得，双曲线1(a0，b0)的焦点坐标为(，0)，(，0)，c且双曲线的离心率为2a2，b2c2a23，双曲线的方程为1.题型一求圆锥曲线的标准方程例1已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F
5、的直线交E于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k，设直线方程为y(x3)，联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22，又因为a2b29，解得b29，a218.思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程(2015天津)已知双曲线1(a0，b0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.y21 D
6、x21答案D解析双曲线1的一个焦点为F(2,0)，则a2b24，双曲线的渐近线方程为yx，由题意得，联立解得b，a1，所求双曲线的方程为x21，选D.题型二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2015湖南)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.(2)(2016天津)设抛物线(t为参数，p0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为_答案(1)D(2)解析(1)由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2
7、，e.故选D.(2)由(p0)消去t可得抛物线方程为y22px(p0)，F，|AB|AF|p，可得A(p，p)易知AEBFEC，故SACESACF3ppp23，p26，p0，p.思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力已知椭圆1(ab0)与抛物线y22px(p0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆1(ab0)的离心率为_答案1解析因为抛物线y22px(p0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.当x时，代入抛物线方
8、程得yp，又因为PQ经过焦点F，所以P且PFOF.所以|PE| p，|PF|p，|EF|p.故2a pp,2cp，e1.题型三最值、范围问题例3若直线l：y过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行(1)求双曲线的方程；(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围解(1)由题意，可得c2，所以a23b2，且a2b2c24，解得a，b1.故双曲线的方程为y21.(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为ykx1(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(13k2)x26
9、kx60，所以x1x2，36k224(13k2)12(23k2)00k2，且13k20k2.设MN的中点为Q(x0，y0)，则x0，y0kx01，故直线m的方程为y，即yx.所以直线m在y轴上的截距为，由0k2b0)和椭圆T2：1(bc0)组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线为“猫眼”(1)若“猫眼曲线”过点M(0，)，且a，b，c的公比为，求“猫眼曲线”的方程；(2)对于(1)中的“猫眼曲线”，任作斜率为k(k0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；(3)若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为
10、椭圆T1上的任意一点(点N与点A，B不重合)，求ABN面积的最大值(1)解由题意知，b，a2，c1，T1：1，T2：x21.(2)证明设斜率为k的直线交椭圆T1于点C(x1，y1)，D(x2，y2) ，线段CD的中点为M(x0，y0)，x0，y0，由得0.k存在且k0，x1x2且x00，故上式整理得，即kkOM.同理，kkON2，.(3)解设直线l的方程为yxm，联立方程得整理得(b22c2)x22mc2xm2c2b2c20，由0化简得m2b22c2，取l1：yx.联立方程化简得(b22a2)x22ma2xm2a2b2a20.由0得m2b22a2，取l2：yx，l1，l2两平行线间距离d，又|
11、AB|，ABN的面积最大值为S|AB|d.题型四定值、定点问题例4(2016全国乙卷)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解(1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1
12、,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到m的距离为，所以|PQ|24.故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2016北京)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；
