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1、正切函数的性质与图象(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.函数y=tan的定义域是()A.B.C.D.【解析】选A.由x-k+，kZ得xk+，kZ，定义域为.【误区警示】解答本题易忽视正切函数的周期为，而误选C.2.函数y=的值域是()A.-1，1B.(-，-11，+)C.(-，1D.-1，+)【解析】选B.因为-x且x0，所以-1tanx1且tanx0，所以(-，-11，+).3.函数y=sinxtanx的图象大致是()【解析】选A.函数f(x)=sinxtanx的定义域为f(-x)=sin(-x)tan(-x)=(-sinx)(-tanx)=sinxtanx，所以f(x)
2、是偶函数，故排除C，D.当x=时，y=sintan=0，当x=时，y=sintan=-0，故选D.4.(2015黔西南州高一检测)在下列给出的函数中，以为周期且在内是增函数的是()A.y=sinB.y=cos2xC.y=sinD.y=tan【解析】选D.A中函数周期为4，不符合题意；B中函数周期为，在内是减函数；C中函数周期为，u=2x+在内是增函数，y=sinu在u上先增后减，故y=sin在内不具有单调性；D中函数周期为，u=x-在内是增函数.y=tanu在u是增函数，故y=tan在内是增函数，故选D.5.下列命题中，函数y=tan(x+)在定义域内不存在递减区间；函数y=tan(x+)的最
3、小正周期为；函数y=tan的图象关于点对称；函数y=tan的图象关于直线x=对称，其中正确命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选D.正确，函数y=tan(x+)在定义域内只存在递增区间.正确.正确，其对称中心为(kZ).函数y=tan不存在对称轴.所以正确，故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)6.函数y=tan的最小正周期为_.【解析】函数周期T=.答案：7.(2015徐州高一检测)比较大小：tan_tan.【解析】tan=tan=-tan；tan=tan=-tan，因为0，所以tan-tan，则tantan.答案：【补偿训练】不查表比较大小：tan470与tan82
4、2.【解析】tan470=tan(360+110)=tan110，tan822=tan(720+102)=tan102，因为90102110180，且y=tanx在上是增函数，所以tan102tan822.8.不等式：tan的解集为_.【解析】因为tan，所以k+x-k+，kZ，所以k+xk+，kZ，所以原不等式的解集为x|k+xk+，kZ.答案：x|k+xk+，kZ三、解答题(每小题10分，共20分)9.求函数y=的定义域.【解析】自变量x应满足1+tan0，即tan-1，所以解得所以原函数定义域为x|x+且x，kZ.【拓展延伸】巧求三角函数的定义域(1)求三角函数的定义域，既要注意一般函数
5、定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性.(2)求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，利用各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.(3)一般地，已知弦函数的取值范围，求角的取值范围用三角函数线简单；已知切函数的取值范围，求角的取值范围用图象比较好.10.(2015六安高一检测)求函数y=tan的定义域，单调区间及对称中心.【解题指南】由5x+k+，求定义域；由k-5x+k+求单调区间；由5x+=，求对称中心.【解析】由5x+k+，得x+，k
6、Z，函数定义域为.由k-5x+k+，得-x-1的三角形内角A的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.因为0Atan0=0-1，又因为tanA-1=tan=tan.所以在内要有tanA-1，则A.综上得A.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015南通高一检测)已知函数y=tan+，则函数的定义域是_.【解析】自变量x应满足所以所以函数的定义域是x|-4x4且x.答案：x|-4x4且x4.(2015延吉高一检测)若函数f(x)=asin2x+btanx+1且f(-3)=5，则f(+3)=_.【解析】因为函数y=sin2x的周期为，y=tanx的周期为，所以函数f(x)=asin2x+
7、btanx+1是周期为的函数，所以f(+3)=f(3).令F(x)=f(x)-1=asin2x+tanx，则F(x)为奇函数.F(-3)=f(-3)-1=4，F(3)=f(3)-1=-4，所以f(3)=-3.答案：-3三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知-x，f(x)=tan2x+2tanx+2.求f(x)的最大值、最小值及相应的x值.【解析】因为-x，所以-tanx1，f(x)=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1当tanx=-1，即x=-时，ymin=1.当tanx=1，即x=时，ymax=5.【补偿训练】求函数y=-tan2x+10tanx-1，x的值域.【解析】因
8、为x，所以tanx1，y=-tan2x+10tanx-1=-(tanx-5)2+24，当tanx=1时ymin=8，当tanx=时，ymax=10-4，值域为8，10-4.6.设函数f(x)=tan.(1)求函数f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心.(2)求不等式-1f(x)的解集.(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.【解析】(1)由-+k(kZ)得x+2k(kZ)，所以f(x)的定义域是.因为=，所以周期T=2.由-+k-+k(kZ)得-+2kx+2k(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间是(-+2k，+2k)(kZ).由-=(kZ)得x=k+(kZ)，故函数f(x)的对称
9、中心是，kZ.(2)由-1tan，得-+k-+k(kZ).解得+2kx+2k(kZ).所以不等式-1f(x)的解集是x|+2kx+2k，kZ.(3)令-=0，则x=.令-=，则x=.令-=-，则x=-.所以函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-，x=，从而得函数y=f(x)在一个周期内的简图如图.【补偿训练】已知函数f(x)=.(1)求函数定义域.(2)用定义判断f(x)的奇偶性.(3)在-，上作出f(x)的图象.(4)写出f(x)的最小正周期及单调区间.【解析】(1)因为由cosx0，得xk+(kZ)，所以函数的定义域是.(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称.又因为f(-x)=-=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(3)f(x)=f(x)(x-，)的图象如图所示.(4)f(x)的最小正周期为2，增区间是(-+2k，+2k)(kZ)，减区间是(+2k，+2k)(kZ).
