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1、2018版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用教师用书 文 北师大版1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb (a、b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b (k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增
2、单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(，和，)上单调递增，在，0)和(0，上单调递减(2)当x0时，x时取最小值2，当x0时，x时取最大值2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(2)幂函数增长比直线增长更快()(3)不存在x0，使ax01)的增长速度会超过并远远大于yxa(a
3、0)的增长速度()(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()1(教材改编)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A100只 B200只 C300只 D400只答案B解析由题意知100alog3(21)，a100.y100log3(x1)，当x8时，y100log39200.2若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为()答案B解析根据题意得解析式为h205t(0t4)，其图像为B.3某市生产总
4、值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.1答案D解析设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)，x1.4用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A3 B4 C6 D12答案A解析设隔墙的长度为x(0x0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()答案D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，应随时间增大而增大，故排除A
5、，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.题型二已知函数模型的实际问题例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.(2)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一答案(1)19(2)16解析(1)由图像可求得一次函数的解析式为y30x570，令30x5700，解得x19.(2)当t0时，ya，当t8时，yae8ba，e8b
6、，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16 min.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时答案24解析由题意得e22k，e11k，x33时，ye33kb(e11k)3eb
7、3eb19224.题型三构造函数模型的实际问题命题点1构造二次函数模型例3(2016武汉模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A4,8 B6,10C4%,8% D6%,10%答案A解析根据题意得，要使附加税不少于128万元，需(30R)160R%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4,8命题点2构造指数函数、对数函数模型例4光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)至
8、少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下？(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解(1)光线通过1块玻璃后，强度y(110%)k0.9k；光线通过2块玻璃后，强度y(110%)0.9k0.92k；光线通过3块玻璃后，强度y(110%)0.92k0.93k；光线通过x块玻璃后，强度y0.9xk.故y关于x的函数解析式为y0.9xk(xN)(2)由题意，得0.9xk，即0.9x，两边取对数，得xlg 0.9lg.因为lg 0.9.又13.14，且xN，所以xmin14.故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下命题点3构造分段函数模型例5(2016武汉模
9、拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解(1)由题意可知当0x20时，v(x)60；当20x200时，设
10、v(x)axb，显然v(x)axb在20,200上是减函数，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立，所以，当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转
11、化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过_小时才能开车(精确到1小时)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)则总利润最大时，该门面经营的天数是_答案(1)5(2)300解析(1)设经过x小时才能开车由题意得0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.750.34.19.x最小为5.(2)由题意，总利润y当0x400时，y(x300)225 00
