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1、2.2.2 反证法学业分层测评(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1实数a,b,c不全为0等价于()Aa,b,c均不为0Ba,b,c中至多有一个为0Ca,b,c中至少有一个为0Da,b,c中至少有一个不为0【解析】“不全为0”的对立面为“全为0”,故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”【答案】D2(2014山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3axb0至少有一个实根”时,要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根【解析】依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,直接写
2、出命题的否定方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根,故应选A.【答案】A3已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线【解析】假设cb,而由ca,可得ab,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线,故应选C.【答案】C4设a,b,c大于0,则3个数:a,b,c的值() A都大于2 B至少有一个不大于2C都小于2D至少有一个不小于2【解析】假设a,b,c三个数都小于2,则必有abc2;a2b22.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)【解析】假设a,b均不大
3、于1,即a1,b1.则均有可能成立,故不能推出“a,b中至少有一个大于1”,故选.【答案】8(2016开原模拟)如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则A1B1C1和A2B2C2分别是_(填三角形的种类)【解析】由条件知,A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形,假设A2B2C2是锐角三角形由得那么,A2B2C2,这与三角形内角和为180相矛盾所以假设不成立,又显然A2B2C2不是直角三角形,所以A2B2C2是钝角三角形【答案】锐角三角形,纯角三角形三、解答题9已知f(x)ax(a1),证明:方程f(x)0没有负数根【证明】假设x0
4、是f(x)0的负数根,则x00且x01且ax0,由0ax0101,解得x02,这与x0b0,则.用反证法证明:假设不成立,则.若,则ab矛盾故假设不成立,结论成立B命题:已知二次方程ax2bxc0(a,b,cR,且a0)有实根,求证:b24ac0.用反证法证明:假设b24ac0,则ax2bxc0无实根,与已知方程有实根矛盾,0C命题:已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0,证明:关于x的方程x22x5p20无实数根用反证法证明:假设方程x22x5p20有实数根,由已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0,解得2p,而关于x的方程x22x5p20的根的判别式4(p24),2p,p24,0,即关
5、于x的方程x22x5p20无实数根D命题:已知函数f(x)是(,)上的增函数,a,bR.“若f(a)f(b)f(a)f(b),则ab0”用反证法证明:假设ab0,则ab,ba.f(x)是(,)上的增函数,则f(a)f(b),f(b)f(a),f(a)f(b)”的否定应为“”B本题犯了“循环论证”的错误,实质上没有求出该题C在解题的过程中并没有用到假设的结论,故不是反证法【答案】D2设a,b,c均为正实数,Pabc,Qbca,Rcab,则“PQR0”是“P,Q,R同时大于0”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】首先,若P,Q,R同时大于0,则必有PQR
6、0成立其次,若PQR0,且P,Q,R不都大于0,则必有两个为负,不妨设P0,Q0,即abc0,bca0,所以b0矛盾故P,Q,R都大于0.【答案】C3用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:ABC9090C180,这与三角形内角和为180矛盾,故假设错误;所以一个三角形不能有两个直角;假设ABC中有两个直角,不妨设A90,B90.上述步骤的正确顺序为_【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知,上述步骤的顺序应为.【答案】4已知函数f(x),如果数列an满足a14,an1f(an),求证:当n2时,恒有an0,所以当n2时,an1an,所以当n2时,anan1a2;而当n2时,a23,所以当n2时,an3;这与假设矛盾,故假设不成立,所以当n2时,恒有an3成立.