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1、2.1.1 合情推理学业分层测评(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1(2016厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”,如图217所示:图217按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2B8n2C6n2D8n2【解析】观察易知第1个“金鱼”图中需要火柴棒8根,而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根,第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第n1个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6,即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项,6为公差的等差数列,易求得通项公式为an6n2.【答案】C2数列3
2、,7,11,15,的通项公式可能是()Aan4n7Ban(1)n(4n1)Can(1)n(4n1)Dan(1)n1(4n1)【解析】当数列中负项、正项交替出现时,用(1)n来控制;若是正项、负项交替出现,则用(1)n1来控制【答案】C3定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:图218那么下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的分别是()A(1),(2) B(1),(3)C(2),(4)D(1),(4)【解析】由可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,A*D是(2),A*C是(4)【答案】C4下列推理正确的是()A
3、把a(bc)与loga(xy)类比,则loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比,则sin(xy)sin xsin yC把(ab)n与(xy)n类比,则(xy)nxnynD把(ab)c与(xy)z类比,则(xy)zx(yz)【解析】A错误,因为logaxlogaylogaxy(x0,y0);B错误,因为sin(xy)sin xcos ycos xsin y;C错误,如当n2时,若xy0,则(xy)2x22xyy2x2y2;D正确,类比的是加法、乘法的结合律【答案】D5给出下列等式:19211,1293111,123941 111,1 2349511 111,12 3
4、4596111 111,猜测123 45697等于()A1 111 110B1 111 111C1 111 112D1 111 113【解析】由题中给出的等式猜测,应是各位数都是1的七位数,即1 111 111.【答案】B二、填空题6已知 2 ,3,4 ,.若8(a,t均为正实数),类比以上等式,可推测a,t的值,则at_.【解析】由所给等式知,a8,t82163,at71.【答案】717设n为正整数,f(n)1,计算得f(2),f(4)2,f(8),f(16)3,观察上述结果,可推测一般的结论为_. 【解析】f(2),f(4)2,f(8),f(16)3,由此可推测一般性的结论为f(2n).【
5、答案】f(2n)8对于命题“如果O是线段AB上一点,则| |0”,将它类比到平面的情形是:若O是ABC内一点,有SOBCSOCASOBA0,将它类比到空间的情形应为:若O是四面体ABCD内一点,则有_【解析】根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,又线段类比平面,平面类比到空间,又线段长类比为三角形面积,再类比成四面体的体积,故可以类比为VOBCDVOACDVOABDVOABC0.【答案】VOBCDVOACDVOABDVOABC0三、解答题9平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三角形两边之和大于第三边(2)三角形的面积S底高(3)三角形的中位线平行于第三边
6、且等于第三边的.请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论【解】由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为:(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)四面体的体积V底面积高(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.10某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图219(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形图219(1)求出f(5);(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n1)与f(n)的关系式,并根据你得
7、到的关系式求f(n)的表达式【解】(1)f(1)1,f(2)5,f(3)13,f(4)25,f(5)254441.(2)f(2)f(1)441,f(3)f(2)842,f(4)f(3)1243,f(5)f(4)1644,由上式规律得出f(n1)f(n)4n.f(2)f(1)41,f(3)f(2)42,f(4)f(3)43,f(n1)f(n2)4(n2),f(n)f(n1)4(n1)f(n)f(1)412(n2)(n1)2(n1)n,f(n)2n22n1.能力提升1观察下列各式:112,23432,3456752,4567891072,可以得出的一般结论是()An(n1)(n2)(3n2)n2B
8、n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2【解析】观察已知等式,第n个等式左边都是2n1个数相加,第1个数是n,等式右边是(2n1)2.由此可得一般结论为:n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2,故选B.【答案】B2已知x0,由不等式x22,x33,我们可以得出推广结论:xn1(nN*),则a()A2n Bn2C3nDnn【解析】x22,x33.由此猜想,xn1,n个所以ann,选D.【答案】D3在RtABC中,C90,ACb,BCa,则ABC的外接圆半径为r,将此结论类比到空间,得到相类似的结论为:_. 【解析】利用
9、类比推理,可把RtABC类比为三棱锥PABC,且PA,PB,PC两两垂直,当PAa,PBb,PCc时,其外接球半径为R.【答案】在三棱锥PABC中,PA,PB,PC两两垂直,PAa,PBb,PCc,则三棱锥PABC的外接球的半径为R4如图2110所示为m行m1列的士兵方阵(mN*,m2)图2110(1)写出一个数列,用它表示当m分别是2,3,4,5,时,方阵中士兵的人数;(2)若把(1)中的数列记为an,归纳该数列的通项公式;(3)求a10,并说明a10表示的实际意义;(4)已知an9 900,问an是数列的第几项?【解】(1)当m2时,表示一个2行3列的士兵方阵,共有6人,依次可以得到当m3,4,5,时的士兵人数分别为12,20,30,.故所求数列为6,12,20,30,.(2)因为a123,a234,a345,所以猜想an(n1)(n2),nN*.(3)a101112132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n1)(n2)9 900,所以n98,即an是数列的第98项,此时方阵为99行100列