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1、东北育才学校高中部2016届高三第五次模拟数学试题(文科) 考试时间:120分钟 试卷满分:150分 第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1已知集合A=1,2,B=1,m,3,如果AB=A,那么实数m等于()A1 B0 C2 D42已知命题P:xR,exx10,则P是()AxR,exx10 Bx0R,x010Cx0R,x010 DxR,exx103已知复数z,“z+=0”是“z为纯虚数”的()A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也不必要条件4 执行如图所示的程序框图,若输出的S为4,则
2、输入的x应为() A2B16C2或8D2或165若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于()A10cm3B20cm3C30cm3D40cm36 已知是函数的一个极大值点,则的一个单调递减区间是 A B C D 7已知等比数列an中,各项都是正数,且3a1,2a2成等差数列,则等于()A6 B7 C8 D98函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数g(x)=Acosx的图象,只需将f(x)的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位9已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的值为()A1 B3 C1或3 D01
3、0 已知正实数m,n满足:m+n=1,且使取得最小值,若曲线过点,则的值等于A -1 B C 2 D 311气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天的日平均温度均不低于22 ()”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8;则肯定进入夏季的地区有()A0个 B 1个 C2个 D3个12设f(x)是函数f(x)的导函数,且f(x)2f(x)(xR),f()=e(e为自然对数的底数),则不等式f(lnx)x2的
4、解集为()A(0,) B(0,)C(,) D(,)第卷(非选择题 共90分)二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13若数a1,a2,a3,a4,a5的标准差为2,则数3a12,3a22,3a32,3a42,3a52的方差为14若非零向量,满足+2+3=,且=,则与的夹角为15在平面直角坐标系中,ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点,顶点C在该曲线上一同学已正确地推得:当mn0时,有e(sinA+sinB)=sinC类似地,当m0、n0时,有e()=sinC16对于函数y=f(x),若存在定义域D内某个区间a,b,使得y=f(x)在a,b上的值域也为a,b,则称函数y=f(x)在
5、定义域D上封闭,如果函数f(x)=在R上封闭,则ba=三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分组,分组区间为(3.9,4.2,(4.2,4.5,(5.1,5.4经过数据处理,得到如下频率分布表:分组频数频率(3.9,4.230.06(4.2,4.560.12(4.5,4.825x(4.8,5.1yz(5.1,5.420.04合计n1.00()求频率分布表中未知量n,x,y,z的值;()从样本中视力在(3.9,4.2和(5.1,5.4的所有同学中随机抽取两人,求两人的视力差的绝对值低于0.5的概
6、率18在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是C1C上一点(1)当CF=2,求证:B1F平面ADF;(2)若FDB1D,求三棱锥B1ADF体积19设a、b、c分别是ABC三个内角A、B、C的对边,若向量,且,(1)求tanAtanB的值;(2)求的最大值20如图,F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,O是坐标原点,|OF|=,过F作OF的垂线交椭圆于P0,Q0两点,OP0Q0的面积为(1)求该椭圆的标准方程;(2)若直线l与上下半椭圆分别交于点P、Q,与x轴交于点M,且|PM|=2|MQ|,求OPQ的面积取得最大值时直线l的方程21设函数f(x)=c
7、lnx+x2+bx(b,cR,c0),且x=1为f(x)的极值点()若x=1为f(x)的极大值点,求f(x)的单调区间(用c表示);()若f(x)=0恰有两解,求实数c的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第一个题目计分.22(本题满分10分)选修:几何证明选讲如图所示,为圆的切线,为切点,交圆于两点,的角平分线与和圆分别交于点和.()求证; ()求的值. 23.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.()求
8、的直角坐标方程;()设直线与曲线交于两点,求弦长.24.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数,的最大值为,正数满足()求;()是否存在,使得?并说明理由东北育才学校高中部高三第五次模拟数学试题(文科)答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分C B B D B BD A A B C B二填空题(共4小题)13,36 14, 15, 16,6 三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17, 【解答】解:(I)由表可知,样本容量为n,由(5.1,5.4一组频数为2,频率为0.04,则,得n=50由,解可得,x=50;y=5036252=14,(II)设
9、样本视力在(3.9,4.2的3人为a,b,c;样本视力在(5.1,5.4的2人为d,e 由题意从5人中任取两人的基本事件空间为:=(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(a,b),(a,c),(b,c),(d,e),共10个基本事件;设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”,则事件A包含的基本事件有:(a,b),(a,c),(b,c),(d,e),共4个基本事件;P(A)=,故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为18, 【解答】(1)证明:AB=AC,D是BC的中点,ADBC在直三棱柱ABCA1B1C1中, B1B底面ABC,AD底面ABC
10、,ADB1BBCB1B=B,AD平面B1BCC1B1F平面B1BCC1,ADB1F(3分)在矩形B1BCC1中,C1F=CD=1,B1C1=CF=2,RtDCFRtFC1B1CFD=C1B1FB1FD=90,B1FFDADFD=D,B1F平面ADF(6分)(2)解:AD面B1DF,又,CD=1,(8分)FDB1D,RtCDFRtBB1D,(10分) 19, 【解答】解:(1)由,得(2分)即 ,亦即 4cos(AB)=5cos(A+B),(4分)所以 (6分)(2)因,(8分)而,所以,tan(A+B)有最小值,(10分) 当且仅当时,取得最小值又tanC=tan(A+B),则tanC有最大值
11、,故的最大值为20,【解答】解:(1)由题意可得c=,将x=c代入椭圆方程可得y=b=,即有OP0Q0的面积为|PQ|c=,即=,且a2b2=5,解得a=3,b=2,即有椭圆方程为+=1;(2)设M(t,0),且1,即3t3直线PQ:x=my+t,代入椭圆方程,可得(4m2+9)y2+8mty+4t236=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),y1+y2=,y1y2=0,由|PM|=2|MQ|,可得=2,即有y1=2y2,代入韦达定理可得,t2=,即有m2=,即有1t29则OPQ的面积为S=|t|y1y2|=|t|=6|t|=,当t2=59,此时m2=,OPQ的面积取得最大值,且为4=3故
12、所求直线方程为x=y或x=y+21,【解答】解:,x=1为f(x)的极值点,f(1)=0,且c1,b+c+1=0(I)若x=1为f(x)的极大值点,c1,当0x1时,f(x)0;当1xc时,f(x)0;当xc时,f(x)0f(x)的递增区间为(0,1),(c,+);递减区间为(1,c)(II)若c0,则f(x)在(0,1)上递减,在(1,+)上递增,f(x)=0恰有两解,则f(1)0,即,c0;若0c1,则f(x)的极大值为f(c)=clnc+c2+bc,f,b=1c,则=clncc,f,从而f(x)=0只有一解;若c1,则=clncc,则f(x)=0只有一解综上,使f(x)=0恰有两解的c的范围为:c022.解:(1)由为圆的切线,得,又为公共角,所以, 4分(2)由为圆的切线,是过点的割线,又, 又由(1)知,是的角平分线,且, , 10分23. ()由,得,即曲线的直角坐标方程为 4分()将直线l的方程化标准式代入,并整理得,所以 10分24.解:()当时,单调递增,所以;当时,单调递减,所以;当时,单调递减,所以;所以的最大值 -4分 ()假设存在正数,使得,则所以;又由于,所以10分