《2017年高考数学四海八荒易错集专题13立体几何中的向量方法理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年高考数学四海八荒易错集专题13立体几何中的向量方法理（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题13 立体几何中的向量方法1直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案C解析方法一由于BCA90，三棱柱为直三棱柱，且BCCACC1.建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，(1,1,2)(2,2,0)(1，1,2)，(0,1,2)cos，.2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是()A，1B
2、，1C，D，1答案B解析根据题意可知平面A1BD平面A1ACC1且两平面的交线是A1O，所以过点P作交线A1O的垂线PE，则PE平面A1BD，所以A1OP或其补角就是直线OP与平面A1BD所成的角.设正方体的边长为2，则根据图形可知直线OP与平面A1BD可以垂直3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在直线BC1上运动时，有下列三个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；二面角PAD1C的大小不变其中真命题的序号是_答案解析中，BC1平面AD1C，BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确；中，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面
3、ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确；中，点P在直线BC1上运动时，点P在平面AD1C1B中，既二面角PAD1C的大小不受影响，所以正确4已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_答案解析以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，点F到平面A1D1E的距离为d.5.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，点E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，点D为棱A1B1上的点(1)证明：DFAE；(2)是否存在一点D，使得平面DEF
4、与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由(1)证明AEA1B1，A1B1AB，AEAB，又AA1AB，AA1面A1ACC1，AE面A1ACC1，AA1AEA，AB面A1ACC1.又AC面A1ACC1，ABAC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有A(0,0,0)，E，F，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，由(1)可知平面ABC的法向量n(0,0,1)设平面DEF的法向量为m(x，y，z)，则(，)，即令z2(1)，则n(3,12，2(1)平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，|cosm，n|，即，解得或(舍)，当点D为A1B1
5、中点时满足要求6如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEFEFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知，ABEF，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60，从而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，
6、4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)，则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.易错起源1、利用向量证明平行与垂直例1、如图，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点运用向量方法证明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.证明方法一由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，
7、M，O.(1)，(1,0,0)，0, .棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1n20，平面MDF平面EFCD.方法二(1)()().向量与向量，共面，又OM平面BCF，OM平面BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，0，()220.OMCD，OMFC，又CDFCC，OM平面EFCD.又OM平面MDF，平面MDF平面EFCD.【变式探究】如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面P
8、AB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明(1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，即EFAB，又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.(2)由(1)可知(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，即APDC，ADDC.又APADA，DC平面PAD.DC平面PDC，平面PAD平面PDC.【名师点睛】用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行
9、，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外【锦囊妙计，战胜自我】设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)则有：(1)线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.易错起源2、利用空间向量求空间角例2、如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形
10、，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长解以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)(1)因为AD平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，(0,2,0)因为(1,1，2)，(0,2，2)设平面PCD的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，即令y1，解得z1，x1.所以m(1,1,1)是平面PCD的一个法向量从而cos，m，从而cos，.设12t，t1,3，则cos2，.当且
11、仅当t，即时，|cos，|的最大值为.因为ycosx在上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值又因为BP，所以BQBP.【变式探究】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABAC1，AA12，点P是棱BB1上一点，满足 (01)(1)若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；(2)若二面角PA1CB的正弦值为，求的值解以点A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为ABAC1，AA12，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1,0,2)从而平面A
12、1BC的一个法向量为n1(2,2,1)设直线PC与平面A1BC所成的角为，则sin|cos，n1|，所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为.(2)设平面PA1C的法向量为n2(x2，y2，z2)，(1,0,22)，由得【名师点睛】 (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论(2)求空间角注意：两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，即cos|cos|.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余
13、弦值的绝对值，即注意函数名称的变化【锦囊妙计，战胜自我】设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)线线夹角设l，m的夹角为(0)，则cos.(2)线面夹角设直线l与平面的夹角为(0)，则sin|cosa，|.(3)面面夹角设平面、的夹角为(0)，则|cos|cos，v|.易错起源3、利用空间向量求解探索性问题例3、如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由解(1)由题意，易得DMDA，DMDC，DADC.如图所示，以点D为坐标原点，DA，DC，DM所在直
