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1、第八讲 三角形（一） 8.1 三角形的线段与角基础盘点1不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做 .2（1）从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.（2）连接三角形的 与对边 的线段，叫做三角形的中线.（3）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做 三角形的角平分线.注意：三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线.3三角形的两边之和 第三边，两边之差 第三边.4三角形的内角和是 ；三角形的一个外角大于 ，三角形的一个外角等于 .考点呈现考点1 三角形的高例1（2015广安）下列四个图
2、形中，线段BE是ABC的高的是（）A B C D解析：根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是ABC的高，再结合图形进行判断只有D符合题意，故选D 评注：本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外.考点2 三角形三边关系例2（2015青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A5B6C12D16解析：设第三边的长为x，因为三角形两边的长分别是4和10，所以104x10+4，即6x14故选C评注：三条线
3、段能否构成一个三角形， 关键在于判定它们是否符合三角形三边的不等关系，符合即可构成一个三角形，否则就不能构成一个三角形.考点3 三角形的外角例3（2015柳州）图1中1的大小等于（）A 40B50C60D70图1解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算，得1=13060=70故选D评注：本题考查了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的性质，理解“与它不相邻的内角”是解题的关键考点4 三角形的内角和例4（2015绵阳）如图2，在ABC中，B、C的平分线BE，CD相交于点F，ABC=42，A=60，则BFC=（）A118 B119 C120 D121图2 解析：因
4、为A=60，所以ABC+ACB=120.因为BE，CD是B,C的平分线，所以CBE=ABC，BCD=.所以CBE+BCD=（ABC+BCA）=60，所以BFC=18060=120.故选C 评注:本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，综合运用三角形内角和定理和角平分线的定义是解答此题的关键 误区点拨1.对三角形的重要线段的认识有误例1 下列说法正确的是（）A.三角形的角平分线是射线 B.三角形的高是一条垂线C.三角形的三条中线相交于一点 D.三角形的中线、角平分线和高都在三角形内错解：A或B或D剖析：选A是混淆了一个角的平分线与三角形角平分线的本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分
5、线是线段；选B是对三角形的高的定义理解有误，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高，因此三角形的高也是线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，故选D也是错误的.只有C选项是正确的.2.运用三角形三边关系时出错 例2（2015大连）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A. 1,2,3 B.,1，3 C.3,4,8 D.4,5，6 错解：A或B或C 剖析：利用三角形三边关系来判断所给的线段能否构成三角形时，只需求出三角形较小两边的和，如果这两边的和大于第三边，即可保证三角形任何两边的
6、和大于第三边.选项A中1+2=3，选项B中1+3；选项C中3+48，所以A，B,C都不能构成三角形，应选D.跟踪训练1（2015朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为2（2015山西）如图，直线ab，一块含60角的直角三角尺ABC（A=60）按如图所示放置若1=55，则2的度数为（）A105B110C115D120第1题图3.（2015滨州）在ABC中，ABC=345，则C等于( )A.45B.60C.75 D.904.（2015河北）如图，ABEF，CDEF，BAC=50，则ACD=（）A 120 B 130 C 140 D 150第4题图 第5题图
7、5.（2015常德）如图，在ABC中，B40，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，则AEC度. 8.2 全等三角形 基础盘点1. 的三角形叫做全等三角形2.全等三角形的性质：（1）全等三角形 相等；（2）全等三角形 相等； 3.全等三角形的判定方法：（1）三 相等的两个三角形全等；（2）两角和 对应相等的两个三角形全等；（3）两角和 相等的两个三角形全等；（4）两边和 相等的两个三角形全等；（5）斜边和 相等的两个直角三角形全等.4.角平分线上的点到角两边的距离 .5.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 考点呈现考点1 全等三角形的性质例1（2015柳州）如图1，ABCDEF，则
8、EF= 图1解析：因为ABCDEF，所以BC=EF，则EF=5评注：按照全等三角形的对应顶点中字母的出现位置来确定对应元素，在相应位置上出现的字母所表示的元素必为对应元素.这种方法的使用前提是表示全等三角形时，所写的表达式中对应顶点的位置必须写得准确无误.此题主要考查了全等三角形的性质，找出对应边是解题关键考点2 全等三角形的判定例2（2015贵阳）如图2，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使ADFCBE，还需要添加的一个条件是（）AA=CBD=BCADBCDDFBE图2解析：当D=B时，在ADF和CBE中因为，所以ADFCBE（SAS）.故选B评注：添加使两个三角形全等的条件，基本
9、方法是先结合图形挖掘隐含条件（如公共边、公共角、对顶角等），然后根据全等三角形的判定方法去补充适当的条件考点3 角平分线的性质例3（2015茂名）如图3，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（） A 6 B 5 C 4 D 3解析： 过点P作PEOB于点E，如图3.根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得PE=PD.因为PD=6，所以PE=6，即点P到OB的距离是6故选A图3评注：应用角平分线的性质及其判定时，一定要具备两个垂直距离（即点到直线的距离），证明过程中要直接运用这两个定理，而不要去寻找全等三角形误区点拨1.混淆全等三角形的对应
10、元素例1如图4所示，ABDCAE，BAD=ACE， D=E.请写出全等三角形的其他对应元素.图4错解：对应角 B和 CAE，对应边BD和CE ，AD和AE ， AB和AC .剖析：全等三角形的对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角.因此，对应边应该是BD与AE，AD与CE，AB与CA.注意，记两个全等三角形时，对应的顶点字母写在对应的位置上，由字母顺序去找对应元素就不会出错.2.误将“SSA”当成“SAS”来证题例2 如图5，D是ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，ABE=ACE，试说明BAE=CAE图5错解：在AEB和AEC中， 所以AEBAEC所以BAE=CAE剖析：
11、本题错在说明两个三角形全等时用了“边边角”的条件来判定，这是不正确的因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等正解：因为BE=CE， 所以EBC=ECB又因为ABE=ACE， 所以ABC=ACB，AB=AC在AEB和AEC中， 所以AEBAEC所以BAE=CAE跟踪训练1.（2015海南）如图，下列条件中，不能证明ABCDCB的是（）A AB=DC，AC=DB B AB=DC，ABC=DCB C BO=CO，A=D D AB=DC，A=D 第1题图 第2题图2(2015南昌)如图，OP平分MON , PEOM于E, PFON于F,OA=OB, 则图中有 对全等三角形3. (20
12、15义乌)如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得ABCADC，这样就有QAE=PAE.则说明这两个三角形全等的依据是A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 第3题图 第4题图4.（2015宜昌）如图，在方格纸中，以AB为一边作ABP，使之与ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A1个B2个C3个D4个8.3 等腰三角形基础盘点1. 有 的三角形叫做等腰三角形.2.（1）等腰三角形是 对称图形，其对称轴是 ；（2）等腰三角形的两个 相等（简写成“等边对等角”），等腰三角形的 、 和 互相重合（简称“三线合一”）.3. 等边三角形是 的三角形，也叫正三角形，它是 对称图形，有 条对称轴.4.（1） 的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）；（2） 的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.考点呈现考点1 等腰三角形的边长确定例1（20
