《2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例课后提升训练 新人教a版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例课后提升训练 新人教a版必修1（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、指数型、对数型函数模型的应用举例(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017郑州高一检测)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(),空气的温度是T0(),以经过t分钟后物体的温度T()可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90的物体,放在10的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50,那么t的值约等于(参考数据:ln31.099,ln20.693)()A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40【解析】选B.由题意可知50=10+(90-10)e-0.25t,整理得e-0.25t=,即-0.25t=ln=-ln2-0.693,解得t2.7
2、7.【补偿训练】(2017兰州高一检测)光线通过一块玻璃,其强度要失掉原来的,要使通过玻璃的光线强度为原来的以下,至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3=0.4771)()A.10B.11C.12D.13【解析】选B.设原光线的强度为a,重叠x块玻璃后,通过玻璃的光线强度为y,则y=a(xN*),令ya,即aa,所以.因为=10.4,即x10.4.所以x最小为11,即至少需要重叠11块这样的玻璃.2.一种单细胞动物以一分为二的方式进行繁殖,每三分钟分裂一次,假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中,恰好一小时这种细胞充满容器,假设开始将两个细胞放入容器,则充满容器时间是()A.27分钟B.3
3、0分钟C.45分钟D.57分钟【解析】选D.设要经过的时间为x分钟,则2=220,解得x=57.3.如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%,那么经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为图中的()【解析】选D.设原来的蓄积量为a,则a(1+10.4%)x=ay,故y=1.104x.【延伸探究】本题中的条件“经过x年可以增长到原来的y倍”若换为“经过y年可以增长到原来的x倍”.其他条件不变,结论又如何呢?【解析】选B.设原来的蓄积量为a,则a(1+10.4%)y=ax,即y=log1.104x.4.(2017厦门高一检测)某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台
4、,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+100【解析】选C.由题意,对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时,误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,y=300,与实际值790相差很大.综上,只有C中的函数误差最小.【拓展延伸】常见的指数型函数模型指数型函数在实际问题中的应用:解析式可以表示为y=N(
5、1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.本节中,我们给出指数型函数模型:y=max+b(a0,a1,m0),有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示.5.已知函数t=-144lg的图象可表示打字任务的“学习曲线”,其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间,N表示打字速度(字/min),则按此曲线要达到90字/min的水平,所需的学习时间是()A.144hB.90hC.60hD.40h【解析】选A.由N=90可知,t=-144lg=144h.6.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数
6、量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到()A.300只B.400只C.600只D.700只【解析】选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以x=7时,y=100log2(7+1)=300.7.某研究小组在一项实验中获得一组数据,将其整理得到如图所示的散点图,下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是()A.y=2tB.y=2t2C.y=t3D.y=log2t【解题指南】观察散点图结合已学函数图象可得结果.【解析】选D.根据散点图可知与对数函数一致.【
7、补偿训练】今有一组实验数据如下表所示:t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是()A.u=log2tB.u=2t-2C.u=D.u=2t-2【解析】选C.可以先画出散点图,并利用散点图直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.散点图如图所示.由散点图可知,图象不是直线,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当t=3时,2t-2=23-2=6,排除选项B.8.向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是()【解析】选B.图反映随着水深h的增加,注水量V增长速
8、度越来越慢,这反映水瓶中水上升的液面越来越小.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017长沙高一检测)某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:时)之间的函数关系式为:P=P0e-kt(k,P0均为正的常数).若在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么,至少还需要过滤_小时才可以排放.【解析】由题意,知前5小时消除了90%的污染物,因为P=P0e-kt,所以(1-90%)P0=P0e-5k,所以0.1=e-5k,即-5k=ln0.1,所以k=-ln0.1.由1%P0=P0e-kt,即0.
9、01=e-kt,所以-kt=ln0.01,t=ln0.01,所以t=10,所以至少还需要过滤5小时才可以排放.答案:5【补偿训练】如图,开始时桶1中有a升水,如果桶1向桶2注水,桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt(n为常数,t为注水时间),那么桶2中的水就是y2=a-ae-nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时,两桶中的水相等,那么经过_分钟桶1中的水只有.【解析】由于t=5时两桶中的水相等,所以ae-n5=a-ae-n5,所以(e-n)5=,即e-n=.由条件可得ae-nt=,即=,所以t=15.答案:1510.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火
10、箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v=2000ln.当燃料质量是火箭质量的_倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.【解题指南】燃料质量与火箭质量的倍数即为的值,只需将v=12000代入原式中求的值即可.【解析】当v=12000时,2000ln=12000,所以ln=6,所以=e6-1.答案:e6-1三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017石家庄高一检测)上世纪九十年代,政府气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出:使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测,1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加
11、了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系,模拟函数可选用二次函数f(x)=px2+qx+r或指数型函数g(x)=abx+c(a0,b0且b1),且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好?【解析】若以二次函数f(x)=px2+qx+r作模拟函数,则解得所以f(x)=x2+x.若以指数型函数g(x)=abx+c作模拟函数,则解得所以g(x)=-3.利用f(x),g(x)对1994年CO2浓度作估算,则其数值分别为f(5)=15个可比单位,g(5)=17.25个可比单位.因为|f(5)-16|0,且k,a是常数)的图象.(1)写出服药后y关于t的函数关系式.(2)据测定,每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效.假设某人第一次服药为早上6:00,为保持疗效,第二次服药最迟应当在当天几点钟?(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药,则第二次服药后3小时,该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?【解析】(1)当0t1时,y=8t;当t1时,所以所以y=(2)令82,解得t
