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1、习题课数学归纳法的应用,1.经验归纳法与数学归纳法结合 数学归纳法实质上是演绎法的一种,它是一种必然推理,它只能证明与正整数有关的命题,却不能发现结论.我们常把经验归纳法与数学归纳法结合起来,形成归纳,猜想,证明的思想方法,既可以发现新命题,又能证明其正确性,组成一套完整的数学思想方法. 2.数学归纳法的特征 数学归纳法所证明的是与正整数有关的命题.实际上就是正整数的无穷性命题,但是数学归纳法的基本步骤是有穷的,仅仅只有两个步骤,而且这两个步骤缺一不可.数学归纳法是在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题.,【做一做1】 用数学归纳法证明“当n为正奇数时,x
2、n+yn能被x+y整除”的第二步是( ) A.假设n=2k+1时命题成立,再推n=2k+3时命题成立(kN+) B.假设n=2k-1时命题成立,再推n=2k+1时命题成立(kN+) C.假设n=k时命题成立,再推n=k+1时命题成立(kN+) D.假设nk(k1)时命题成立,再推n=k+2时命题成立(kN+) 解析:因为n为正奇数,所以第二步应先假设第k个正奇数时命题成立.本题即假设n=2k-1时命题成立,再推第(k+1)个正奇数即n=2(k+1)时命题成立. 答案:B,【做一做2】 在数列an中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,通过求S2,S3,S4,猜想Sn= .,解析:Sn
3、,Sn+1,2S1成等差数列,2Sn+1=Sn+2S1. 又S1=a1=1,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用数学归纳法证明整除问题 【例1】 已知f(n)=(2n+7)3n+9. (1)求f(1),f(2),f(3)的值; (2)是否存在不小于2的正整数m,使得对于任意的正整数n,f(n)都能被m整除?如果存在,求出最大的m值;如果不存在,请说明理由. 分析:本题考查利用数学归纳法证明整除问题的方法,求解时可先由f(1),f(2),f(3)的特征,探究出正整数m的值后,再用数学归纳法证明.,解:(1)f(n)=(2n+7)3n+9, f(1)=(21+7)31+9=36, f(2)=(22
4、+7)32+9=336=108, f(3)=(23+7)33+9=1036=360.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)由(1)可以猜想最大的m=36, 下面用数学归纳法证明. 当n=1时,f(1)=36,显然能被36整除; 假设n=k(k1,kN+)时,f(k)能被36整除, 即(2k+7)3k+9能被36整除, 则当n=k+1时, f(k+1)=2(k+1)+73k+1+9=(2k+7)+23k3+9 =3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1). 由假设可知(2k+7)3k+9能被36整除,3k-1-1是偶数,18(3k-1-1)也能被36整除. f(k+1)能被36整除. 由和
5、,可知对任意nN+,f(n)都能被36整除. 最大的m值为36.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟证明数或式的整除问题的方法 应用数学归纳法证明有关整除问题时,为了利用归纳假设,常常用对通项进行拆项、添项、分解、组合的方法在要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1若nN+,求证:xn+1+(x+1)2n-1能被x2+x+1整除.,证明:(1)当n=1时,x1+1+(x+1)21-1=x2+x+1,显然x2+x+1能被x2+x+1整除. (2)假设当n=k(k1,kN+)时结论成立,即xk+1+(x+1)2
6、k-1能被x2+x+1整除. 当n=k+1时,xk+2+(x+1)2k+1=(x+1)2(x+1)2k-1+xk+2+(x+1)2xk+1-(x+1)2xk+1=(x+1)2(x+1)2k-1+xk+1-(x2+x+1)xk+1. 因为上式两项均能被x2+x+1整除, 所以xk+2+(x+1)2k+1能被x2+x+1整除,即n=k+1时,结论也成立. 由(1)和(2),可知xn+1+(x+1)2n-1能被x2+x+1整除.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用数学归纳法证明几何问题 【例2】 在一平面内有n(n2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线相互分割出n2条线
7、段或射线. 分析:用数学归纳法证明几何问题,关键要找到本题中从k到(k+1)条直线增加的线段或射线的条数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,证明:(1)当n=2时,两条直线相交得到4条射线,命题成立. (2)假设n=k时,k(k2)条直线按题目要求相交可得k2条线段或射线. 则当n=k+1时,记这(k+1)条直线中的一条为l,其余k条直线相交可得到k2条线段或射线,直线l与这k条直线相交可新增加k个不同的交点,这k个点把直线l分成k+1段,又各自把它们所在线段或射线分成两部分,即又增加k条线段或射线,则新增加的线段或射线的条数为k+1+k=2k+1.从而(k+1)条直线相交,得到的线段或射线
8、的条数为k2+2k+1=(k+1)2,所以n=k+1时命题也成立. 由(1)和(2),可知命题对nN+,且n2成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟用数学归纳法证明几何问题的技巧 (1)用数学归纳法可以证明与正整数n有关的几何问题,常见的形式有交点的个数问题,直线的条数问题,划分区域问题,以及构成的角的个数问题. (2)证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素由k个变成(k+1)个,所证的几何量将增加多少,这需要用到几何知识或借助几何图形分析. (3)几何问题的证明既要注意数形结合,又要注意有必要的文字证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2在一平面上有n个圆,其中每两
9、个圆都相交于两点,并且三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分. 证明:(1)当n=1时,一个圆把平面分成两部分,而f(1)=1-1+2=2,因此,n=1时命题成立. (2)假设n=k(k1,kN+)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2部分,若增加满足条件的任一个圆,则这个圆必与前k个圆相交于2k个点,这2k个点把这个圆分成2k段弧,每段弧把它所在的原有部分分成两部分,因此,平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分,即有f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即当n=k+1时,命题也成立. 根据(1
10、)和(2),可知n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,归纳猜想证明 【例3】 已知数列 ,Sn为其前n项和,nN+,计算S1,S2,S3,S4.根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明. 分析:本题考查数学归纳法在数列问题中的应用.根据S1,S2,S3,S4的结果,猜想Sn的表达式,要注意观察项与项数的变化关系,从而归纳出构成数列的规律,同时还应注意各项之间的差异.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想:Sn= . 证明如下:,左边=右边, 猜想
11、成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)假设当n=k(k1,kN+)时,猜想成立,当n=k+1时猜想也成立. 根据(1)和(2),可知猜想对任意nN+都成立. 反思感悟1.解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点:(1)计算特例时,不仅仅是简单的计算过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;(2)猜想必须准确,绝对不能猜错,否则将徒劳无功;(3)如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明. 2.通过观察归纳猜想证明这一完整的过程去探索和发现问题,并证明所得出的结论的正确性.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3已知数列an中,a2=a+2(a为常数),Sn是an的前n
12、项和,且Sn是nan与na的等差中项. (1)求a1,a3. (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法加以证明.,解:(1)由已知得2Sn=nan+na=n(an+a), 当n=1时,S1=a1,所以2a1=a1+a,即a1=a; 当n=3时,S3=a1+a2+a3,所以有2(a1+a2+a3)=3(a3+a),由于a2=a+2,a1=a,所以a3=a+4. (2)由a1=a,a2=a+2,a3=a+4,猜想an=a+2(n-1). 证明如下,当n=1时,左边=右边,等式成立,当n=2时,a2=a+2知等式也成立,假设n=k(k2)时等式成立,即ak=a+2(k-1). 则当n=k+1时,探究一
13、,探究二,探究三,思维辨析,所以2ak+1=(ak+1+a)(k+1)-(ak+a)k.,=a+2(k+1)-1. 所以当n=k+1时,等式也成立. 由和,可知对任意nN+,等式an=a+2(n-1)都成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由n=k变化为n=k+1时,项数变化不正确而致误 【典例】 若不等式 对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.,(1)n=1时,结论已证.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,故a的最大值为25.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得用数学归纳法证明时一定要注意从n=k到n=k+1时项数的变化情况,不仅要看后面增加项的多少,还要看前
14、面是否减少了某项.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,n=2时等式成立. (2)假设当n=k(k2,kN+)时等式成立.,当n=k+1时,等式也成立. 由(1)和(2),可知对任意n2,nN+,上述等式恒成立.,1 2 3 4 5,1.用数学归纳法证明命题“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9整除”,要利用假设证n=k+1时的情况,只需要展开( ) A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 解析:由假设n=k时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,证n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被9整除,其中项的变化是多
15、了(k+3)3,且少了k3.故只需将(k+3)3展开变形即可. 答案:A,1 2 3 4 5,2.若k棱柱过侧棱有f(k)个对角面,则k+1棱柱过侧棱的对角面的个数f(k+1)是( ) A.f(k)+k-1 B.f(k)+k C.f(k)+k+1 D.f(k)+k-2 解析:k+1棱柱比原k棱柱多了一条侧棱,由对角面的定义可知,过不相邻的两条侧棱的面为棱柱的对角面,可得对角面在原来的基础上增加了(k-1)个,因此f(k+1)=f(k)+k-1. 答案:A,1 2 3 4 5,时原等式的左边应增加的项数是 .,答案:2k,1 2 3 4 5,4.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为 . 解析:证明当n=k+1时,n3+5n能被6整除,一定要用到归纳假设“k3+5k能被6整除”.故需将(k+1)3+5(k+1)化成含有k3+5k的形式,即(k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k2+3k+6=(k3+5k)+3k(k+1)+6. 答案:(k3+5k)+3k(k+1)+6,1 2 3 4 5,5.已知数列an满足Sn+an=2n+1. (1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式. (2)用数学归纳法证明所得结论.,(1)解
