《（全国版）2018版高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课件(理)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国版）2018版高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课件(理)（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 等比数列及其前n项和,【知识梳理】 1.等比数列的有关概念 (1)定义: 文字语言:从_起,每一项与它的前一项的_都 等于_一个常数. 符号语言:_(nN*,q为非零常数).,第2项,比,同,(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么_叫做a与b 的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数 列G2=_.,G,ab,2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=_. (2)前n项和公式:Sn=,a1qn-1,na1,3.等比数列的性质 (1)通项公式的推广:an=amqn-m(m,nN*). (2)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则_ =_. 特别地,若m
2、+n=2p,则_.,aman,apaq,aman=ap2,(3)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等 比数列,即(S2m-Sm)2=_(mN*,公比q-1). (4)数列an是等比数列,则数列pan(p0,p是常数) 也是_数列.,Sm(S3m-S2m),等比,(5)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个 等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列,公比为 _.,qk,【特别提醒】 1.等比数列的概念的理解 (1)等比数列中各项及公比都不能为零. (2)由an+1=qan(q0),并不能断言an为等比数列,还要验证a10. (3)等比数
3、列中奇数项的符号相同,偶数项的符号相同.,2.等比数列an的单调性 (1)满足 或 时,an是递增数列. (2)满足 或 时,an是递减数列. (3)当 时,an为常数列. (4)当q0时,an为摆动数列.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修5P54习题2.4A组T8改编)在3与192中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为 .,【解析】设该数列的公比为q,由题意知, 192=3q3,q3=64,所以q=4. 所以插入的两个数分别为34=12,124=48. 答案:12,48,2.(必修5P62习题2.5B组T2改编)设等比数列an的前 n项和为Sn,若 则 = .,【
4、解析】S3,S6-S3,S9-S6成等比数列, 则(S6-S3)2=S3(S9-S6), 由 知S6= S3, 则 =S3(S9-S6), 所以S9= S3,所以 答案:,感悟考题 试一试 3.(2016开封模拟)已知an为正项等比数列,Sn是它 的前n项和,若a1=16,且a4与a7的等差中项为 ,则S5的 值为 ( ) A.29 B.31 C.33 D.35,【解析】选B.由题可得a4+a7= 2,即a1q3+a1q6= , 解得q= (由于数列是正项等比数列,负值舍去),故S5=,4.(2015安徽高考)已知数列an是递增的等比数列, a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等
5、于 . 【解析】 a1=1,q=2, 所以Sn= =2n-1. 答案:2n-1,5.(2014广东高考)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+lna20= . 【解析】方法一:各项均为正数的等比数列an中a10a11=a9a12=a1a20, 则a1a20=e5, lna1+lna2+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.,方法二:各项均为正数的等比数列an中a10a11=a9a12=a1a20, 则a1a20=e5, 设lna1+lna2+lna20=S, 则lna20+lna19+lna1=S,2S=20ln(a1a20)=
6、100,S=50. 答案:50,考向一 等比数列的性质及基本量的计算 【典例1】(1)(2015全国卷)等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= ( ) A.21 B.42 C.63 D.84 (本题源自A版必修5P51例3),(2)(2016石家庄模拟)设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列,则an= .,【解题导引】(1)根据a3+a5+a7与a1+a3+a5的联系求解. (2)将已知条件转化为a2的方程组,求得a2,再利用S3=7求得公比q,进而求解.,【规范解答】(1)选B.设等比数列
7、的公比为q,则a1+a1q2+a1q4=21, 又因为a1=3,所以q4+q2-6=0, 解得q2=2,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.,(2)由已知得: 解得a2=2.设数列an的公比为q,由a2=2, 可得a1= ,a3=2q. 又S3=7,可知 +2+2q=7,即2q2-5q+2=0,解得q1=2,q2= . 由题意得q1,所以q=2,所以a1=1. 故数列an的通项为an=2n-1. 答案:2n-1,【规律方法】等比数列运算的思想方法 (1)方程思想:设出首项a1和公比q,然后将通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已
8、知和所求结果都用a1,q表示,寻求两者联系,整体代换即可求.,(3)利用性质:运用等比数列性质,可以化繁为简、优化解题过程. 易错提醒:在使用等比数列的前n项和公式时,如果不确定q与1的关系,一般要用分类讨论的思想,分q=1和q1两种情况.,【变式训练】(2016芜湖模拟)在等比数列an中, a3=7,前3项和S3=21,则公比q的值为 ( ) A.1 B.- C.1或- D.-1或,【解析】选C.根据已知条件得 得 整理得2q2-q-1=0, 解得q=1或q=- .,【加固训练】 1.已知x,y,zR,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的 值为 ( ) A.-3 B.3 C.-3
9、D.3,【解析】选C.由等比中项知y2=3,所以y= , 又因为y与-1,-3符号相同,所以y=- ,y2=xz, 所以xyz=y3=-3 .,2.已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10= ( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7,【解析】选D.设数列an的公比为q, 所以a1+a10=-7.,3.(2016长治模拟)已知等比数列an为递增数列,且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列an的通项公式an= .,【解析】设公比为q,由a52=a10得(a1q4)2=a1q9,即a1=q. 又由2(an+an+2)=5an+1,得2q2-5q+2=0
10、, 解得 所以an=a1qn-1=2n. 答案:2n,考向二 等比数列前n项和及性质的应用 【典例2】(1)(2016岳阳模拟)设等比数列an的前n 项和为Sn,若 则 = ( ),(2)(2016成都模拟)设数列an的前n项和为Sn,a1=1,且数列Sn是以2为公比的等比数列. 求数列an的通项公式; 求a1+a3+a2n+1.,【解题导引】(1)将已知及所求结果都用a1,q表示,或利用等比数列的和的性质求解. (2)先求出Sn,再求出an,最后转化为等比数列求和.,【规范解答】(1)选B.方法一:若公比q=1, 则 所以公比q1,由 得,方法二:因为an为等比数列,由 ,设S6=3a,S3
11、=a, 所以S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,即a,2a,S9-S6成等比数 列,所以S9-S6=4a,解得S9=7a, 所以,(2)因为S1=a1=1, 且数列Sn是以2为公比的等比数列, 所以Sn=2n-1, 又当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2. 所以,a3,a5,a2n+1是以2为首项,4为公比的等比数列, 所以a3+a5+a2n+1= 所以a1+a3+a2n+1=,【易错警示】解答典例2(2)会出现以下错误: 把a3,a5,a2n+1认为是以1为首项,以2为公比的等比数列,项数误认为是2n-1.,【规律方法】 1.与等比数列前n项和Sn相关的分类讨论
12、(1)运用求和公式时针对公比q的讨论. (2)针对项数n的奇偶的讨论.,2.与等比数列前n项和Sn相关的结论 (1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列an中,公比为q. 若共有2n项,则S偶S奇=q; 若共有2n+1项,则S奇-S偶= (q1且q-1). (2)分段求和:Sn+m=Sn+qnSmqn= (q为公比).,【变式训练】设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0(n=1,2,3,).则q的取值范围为 . 【解析】因为an为等比数列,Sn0, 可以得到a1=S10,q0, 当q=1时,Sn=na10; 当q1时,Sn= 0,即 0(n=1,2,3,),上式等价于不等式组 (n=1,2,3,
13、), 或 (n=1,2,3,). 解式得q1,解式,由于n可为奇数,可为偶数, 得-1q1,且q0. 综上,q的取值范围是(-1,0)(0,+). 答案:(-1,0)(0,+),【加固训练】 1.已知各项都是正数的等比数列an,Sn为其前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40= ( ) A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50,【解析】选A.依题意,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2 =10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20
14、0,因此,S20=30, S20-S10=20,S40=70+80=150.,2.(2016抚州模拟)已知等比数列an的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则这个等比数列的项数为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10,【解析】选C.由题意得a1+a3+=85,a2+a4+=170,所 以数列an的公比q=2,由数列an的前n项和Sn= 得85+170= ,解得n=8.,3.已知an是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列. (1)求数列an的通项. (2)求数列 的前n项和Sn.,【解析】(1)由题设知公差d0,由a1=1,a1,a
15、3,a9成等 比数列得 解得d=1或d=0(舍去),故an的通项an=1+(n-1)1=n. (2)由(1)知 =2n, 由等比数列前n项和公式得Sn=2+22+23+2n= =2n+1-2.,考向三 等比数列的识别与证明 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:等比数列的识别 【典例3】(1)(2014重庆高考)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是 ( ) A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列,(2)(2016赣南模拟)在等比数列an中,若a1= , a4=-4,则|a1|+|a2|+|an|= .,【解题导引】(1)由an是等比数列,寻找各选项中三个项的关系即可识别. (2)先求出an,再求出|an|后求解.,【规范解答】(1)选D.设等比数列的公比为q,则a3=a1q2,a6=a1q5,a9=a1q8,满足(a1q5)2=a1q2a1q8, 即a62=a3a9.,(2)因为a4= q3=-4,
